Beweis: Symmetrie Tensor

12.10.2015, 12:27	winki2008	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Symmetrie Tensor Hallo, es geht um das Fach Festigkeitslehre, und verstehe folgenden mathematischen Beweis nicht wie ich unten anführen werde, warum am Ende plötzlich das $\begin{eqnarray} \sigma_{23}=\sigma_{32} \end{eqnarray}$ reinrutscht, könnt Ihr mir vl helfen. 1 Bild: allgemeine Gleichgewichtsbedingungen eines Körpers.... $\begin{eqnarray} f_{i} \end{eqnarray}$ Kraftdichten über Volumen aufintegriert und (Spannungstensor 2. Stufe $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ multipliziert mit Normaleneinheitsvektor $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ )=Oberflächenkräfte über Oberflächenintegral -> ergeben Kräfte; wenn die 0 sind steht ein System im Gleichgewicht 2 Bild...sind die lokalen Gleichgewichtsbedingungen in Komponentenschreibweise: $\begin{eqnarray} f_{i} \end{eqnarray}$ sind die Kraftdichten; $\begin{eqnarray} \sigma_{ij} \end{eqnarray}$ Spannungen 1. Index Richtung; 2. Index Flächennormale....Herleitung kann ich nachvollziehen...Gaußscher Integralsatz 3. Bild...es wird ein Momentengleichgewicht aufgestellt: Kreuzprodukt: Abstandvektor $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ und Kräfte....es wird nur die erste Komponente bezüglich der kanonischen Basis des $\begin{eqnarray} \vec{e_1} \end{eqnarray}$ untersucht 4) Einsetzen der lokalen Gleichgewichtsbedingungen, Anwendung des Divergenztheorems, plötzlich sind 2 weitere Ausdrücke da $\begin{eqnarray} \sigma_{23}=\sigma_{32} \end{eqnarray}$ ; warum kommen die hinein, hat das etwas mit der inneren Ableitung zu tun? Danke für eure Hilfe [attach]39330[/attach] [attach]39327[/attach] [attach]39328[/attach] [attach]39329[/attach]
13.10.2015, 11:29	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich gehe von folgendem Integral aus, das du zitierst und das ich nochmal abschreibe $\begin{eqnarray} \int\int (x_2\sigma_{31}-x_3\sigma_{21})\cdot n_1+(x_2\sigma_{32}-x_3\sigma_ {22})\cdot n_2+(x_2\sigma_{33}-x_3\sigma {23})\cdot n_3\,\,dS \end{eqnarray}$ In Vektorform lautet das $\begin{eqnarray} \int\int \left [x_2\cdot \begin{pmatrix} \sigma_{31} \\ \sigma_{32} \\ \sigma_{33} \end{pmatrix}- x_3\cdot \begin{pmatrix} \sigma_{21} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{23} \end{pmatrix} \right ]\cdot \vec n\,\,dS \end{eqnarray}$ Mit dem Gaußschen Satz wird das in ein Volumenintegral umgewandelt $\begin{eqnarray} \int\int\int div \left [x_2\cdot \begin{pmatrix} \sigma_{31} \\ \sigma_{32} \\ \sigma_{33} \end{pmatrix}- x_3\cdot \begin{pmatrix} \sigma_{21} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{23} \end{pmatrix} \right ] \,\,dV \end{eqnarray}$ Zum Ausrechnen der Divergenz verwende folgende allgemeinen Formel, die für beliebige Vektorfelder $\begin{eqnarray} \vec a(\vec x) \end{eqnarray}$ und Skalarfelder $\begin{eqnarray} \alpha (\vec x) \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} div(\alpha \cdot \vec a)=\nabla \alpha \cdot \vec a+\alpha \cdot div (\vec a) \end{eqnarray}$ In diesem Fall ist speziell $\begin{eqnarray} \alpha=x_2 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \alpha=x_2 \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} \nabla x_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \nabla x_3=\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Damit solltest du auf das Ergebnis kommen.

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