Abgeschlossenheit zeigen

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Meggiii Auf diesen Beitrag antworten »
Abgeschlossenheit zeigen
Meine Frage:
Hallo Zusammen,

Ich sitze an einem Beweis und soll unter anderem zeigen, dass die folgende Menge abgeschlossen ist:



Meine Ideen:
Die Definitionen für Abgeschlossenheit im habe ich gelesen ( konvergente Menge ist abgeschlossen, wenn Grenzwert in der Menge liegt, ...)
Aber ist nicht ohnehin bezüglich Multiplikation und Addition abgeschlossen? Kann ich das nicht irgendwie zeigen?
Wenn ich aber behaupte, dass
ist und in liegt, kann das so doch noch nicht gelten oder?
conRubi Auf diesen Beitrag antworten »

Abgeschlossenheit bzgl. Operationen wie Multiplikation und Addition unter Abgeschlossenheit (im topologischen Sinne) sind zwei komplett verschiedene Stiefel.

Was hier hilft ist die Definition der Stetigkeit: Urbilder Offener Mengen sind offen.
Oder gleichwertig: Urbilder abgeschlossener Mengen sind abgeschlossen.
Meggiii Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abgeschlossenheit zeigen
Aber für Stetigkeit bzw. Urbilder brauche ich doch eine Funktion.

Wenn ich versuche R^n auf R abzubilden und die Werte von 1 bis n einsetzen möchte, erhalte ich als Funktion quasi eine Summenformel oder eine rekursive Folge. Oder bin ich ganz falsch?
DieLösung Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Menge ist abgeschlossen, wenn der Grenzwert jeder konvergenten Folge wieder in der Menge liegt. Aus der Gleichung für die Komponenten ergibt sich im Grenzprozess eine Gleichung für die Grenzwerte der Komponenten folgen.
conRubi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja für die Stetigkeit brauchst du eine Funktion, netterweise steht ja auch bereits eine da:

und ihr habt mit Sicherheit schon gezeigt, dass die Summationsfunktion stetig ist.
DieLösung Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann doch auch für eine konvergente Folge aus der betrachteten Menge einfach die Summe als konstante Folge im Eindimensionalen betrachten. Diese konvergiert natürlich gegen an, also gilt die Gleichung auch für den Grenzwert.
 
 
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