Wartezeit Überraschungsei

12.10.2015, 14:14	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Wartezeit Überraschungsei Meine Frage: Hallo Leute, es heißt ja immer wieder in jedem 7ten Ei ist ein Schlumpf oder ein was auch immer. Die Schlümpfe sind dann doch auf der Menge meiner Überraschungseier gleich verteilt. Also bei jedem Überraschungsei, welches ich öffne ist die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} 1/7 \end{eqnarray}$ dass sich darin ein Schlumpf befindet. Die mittlere Wartezeit auf einen Schlumpf erhalte ich (das weiß ich noch aus der Schule) durch den Kehrwert. Also muss ich im Mittel 7 Eier öffnen, dass ich sicherlich einen Schlumpf bekomme. 2 Fragen habe ich dazu. Erstens wundert mich das, dass da 7 rauskommt, weil ich ja dann im Mittel 7 öffnen muss um eine Schlumpf zu bekommen, aber er wird doch auch oft schon im ersten sein und oft schon im 2ten und oft schon ... und oft erst im Letzten. Vom Gefühl her hätte ich dann eher gedacht, dass ich ihn im Mittel 3-4 Eier öffnen muss. Dass die mittlere Wartezeit 7 ist, gibt mir irgendwie das Gefühl, dass der Schlumpf im Mittel immer erst im 7ten Ei sein wird. Nun kenne ich aus der Vorlesung ja noch die Geometrische Verteilung. Ich dachte mit der könnte ich hier auch arbeiten. Dazu wähle ich eine Zufallsvariable: $\begin{eqnarray} X = \begin{cases} <br /> 1 & \text{Ei hat Schlumpf drin} \\ <br /> 0 & \text{Ein hat keinen Schlumpf drin} \\ <br /> \end{cases}<br /> \end{eqnarray}$ Der Erwartungswert der Geometrischen Verteilung sagt mir doch, die erwartete Anzahl an Versuchen, eines Bernoulli Experiments, bis zum ersten Erfolg. Die Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg ist geometrische verteilt und ich erhalte als Erwartungswert $\begin{eqnarray} 7 \end{eqnarray}$ . Also muss ich 7 öffnen. Frage 2: Stimmen die Überlegungen so zur geometrischen Verteilung? Oder löst man das anders? Meine Ideen: siehe oben Vielen Dank
12.10.2015, 16:42	Enomine	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo steviehawk, ich sehe die erste Frage nicht ganz, zumindest hast du sie nicht angekündigt, aber du nimmst an, dass die mittlere Wartezeit bei 3-4 liegen müsste, wenn in jedem 7. Ei eine Figur ist. Dies ist falsch. Du nimmst anscheinend an, dass du immer spätestens bei dem 7. Ei eine Figur erhälst. Dies ist jedoch nicht so. Zufall hat kein Gedächtnis. Das bedeutet, dass du gut und gerne 10 Eier aufmachen kannst und es ist nur 1 Figur darin. Die Wahrscheinlichkeit bestätigt sich nur bei den "Großen Zahlen". Das heißt wenn du 7 Millionen Eier auf machst, dann wirst du +- ein paar Tausend etwa 1 Millionen Figuren erhalten haben. Dies ergibt dann im mittel eine Wartezeit von 7 Eiern. In wahrheit hast du bei 7 Millionen versuchen aber sicherlich auch Wartezeiten von über 30 Eiern. Achtung: Wir nehmen hier an, dass Ferrero die Eier per Zufall bestückt. Ich denke nicht, dass dies stimmt. Ich denke es wird eine bestimmte Anzahl produziert und diese dann "möglichst zufällig" auf die Paletten verteilt. Ich nehme an, dass auf einer Palette (ich rede von einer dieser blauen 1/4 Paletten, auf denen hunderte Ü-Eier gestapelt sind) genau Anzahl-Ü-Eier / 7 Figuren erhälst, weil Ferrero schlussendlich die Ü-Eier nicht so gut mischen wird, das wäre viel zu aufwendig. Danke - Enomine
12.10.2015, 17:00	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Enomin, vielen Dank für deine Antwort. Ich habe mir das in der Tat irgendwie zu konkret vorgestellt. Ich mache meine Überlegung natürlich unter der vereinfachten Annahme, dass die Schlümpfe zufällig auf alle Eier verteilt sind. Ob das wirklich so ist weiß ich nicht, wahrscheinlich nicht wie du schon gesagt hast. Wenn ich also 7 000 000 Eier öffne, dann werde ich ca. 1 000 000 Schlümpfe bekommen, hast du gesagt. Hier hast du einfach den Erwartungswert "meiner" oben beschriebenen Zufallsvariable bestimmt oder? Beziehungsweise $\begin{eqnarray} S_n = \sum_{i=1}^n X_i \end{eqnarray}$ das ist die Anzahl der Schlümpfe nach $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Versuchen. $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ ist dann aber binomialverteilt (theoretisch könnte es vorkommen, dass ich in den ersten 1 000 000 alle Schlümpfe bekomme und dann bei den restlichen 6 000 000 keine mehr) Der Erwartungswert ist dann $\begin{eqnarray} \mathbb E(S_n) = n \mathbb E (X) = n \cdot 1/7 \end{eqnarray}$ und für n = 7000 000 eben gerade 1 000 000 mit der geometrischen Verteilung lag ich also falsch? Wie errechnest du jetzt aus ca. 1 000 000 Schlümpfe bei 7 000 000 Eiern die mittlere Wartezeit? Also was ist die Idee zu sagen, ich teile jetzt 7 000 000 durch 1 000 000? Mir ist klar, dass ich aus der Tatsache, dass ich dann günstige Fälle durch mögliche Fälle gerade wieder mein $\begin{eqnarray} 1/7 \end{eqnarray}$ zurückgewinnen kann, und dann über den Kehrwert die Wartezeit bestimmen kann. Aber mein Problem ist, dass ich nicht verstehen, warum man die mittlere Wartezeit über den Kehrwert bekommt. Auch wenn es anschaulich klar sein mag EDIT: Ich habe gerade noch ein mal in einem Skript nachgelesen und da steht es mit der geometrischen Verteilung drin. Also wenn wir ein Bernoulli Experiment haben mit einer Erfolgswkt. $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ , dann ist die mittlere Wartezeit auf den ersten Erfolg gerade $\begin{eqnarray} \frac{1}{p} \end{eqnarray}$ . Da die mittlere Wartezeit gerade durch den Erwartungswert der $\begin{eqnarray} Geo_p \end{eqnarray}$ Verteilung entspricht. Mit der Zufallsvariable die ich im ersten Post beschrieben habe, ist klar, dass das öffnen eines Eies ein Bernoulli Experiment ist. Die durchschnittliche Wartezeit auf den ersten Erfolg ist also gerade $\begin{eqnarray} 7 \end{eqnarray}$ .
12.10.2015, 23:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Geometrische Verteilung der (diskreten) Wartzeit ist richtig, und ja, mit p=1/7.
13.10.2015, 07:50	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
gut, dann wäre das geklärt

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