Integralberechnung mittels Riemann-Summen

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12.10.2015, 14:25	AliceD	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralberechnung mittels Riemann-Summen Hey, ich habe hier folgende Aufgabe: a.) Zu berechnen ist $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} (a^x-1)/x \end{eqnarray}$ b.) Mit Verwendung von a.) soll ich das Integral $\begin{eqnarray} \int_{1}^{a} \! \frac{1}{x} (x) \, dx \end{eqnarray}$ mittels Riemannscher Summen berechnen. Dabei sei für die Zerlegung $\begin{eqnarray} x_{k}=a^{\frac{k}{n} } \end{eqnarray}$ und als Zwischenpunkt $\begin{eqnarray} t_{k}=x_{k-1} \end{eqnarray}$ Mein Ansatz: Mit Hilfe von L'Hospital habe ich a.) gelöst und 0 für den GW als Ergebnis. Dann habe ich für b.) folgendes gemacht: Die Riemann-Summe lautet $\begin{eqnarray} S_{n} = \sum\limits_{k=1}^{n} f(t_{k})(x_{k} -x_{k-1} ) = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{x_{k-1} } (x_{k} -x_{k-1} ) = \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{x_{k} }{x_{k-1} } -1 \end{eqnarray}$ mit Verwendung von x_k so wie in der Aufgabenstellung habe ich dann: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{a^\frac{k}{n}}{a^\frac{k-1}{n} } -1 = \sum\limits_{k=1}^{n} a^\frac{1}{n} -1 = n(a^\frac{1}{n} -1) = \frac{a^\frac{1}{n}-1}{\frac{1}{n} } \end{eqnarray}$ . Und mit Teil a.) habe ich dann als GW für diese Riemann-Summe auch 0. Das heißt das Integral ist gleich 0. Jetzt mein Problem: Wenn ich das Integral mit dem Fundamentalsatz berechnen habe ich als Ergebnis $\begin{eqnarray} \ln(a) \end{eqnarray}$ . Kann mir jemand sagen wo der Fehler ist? Vielen Dank
12.10.2015, 14:27	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralberechnung mittels Riemann-Summen Der Fehler liegt in der Teilaufgabe a). Der Grenzwert ist $\begin{eqnarray} \log a \end{eqnarray}$ .
12.10.2015, 14:31	AliceD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralberechnung mittels Riemann-Summen Ja das habe ich vermutet, aber wieso ist der GW $\begin{eqnarray} \ln(a) \end{eqnarray}$ ? Wenn ich das mit L'Hospital berechne bekomme ich immer 0 als Ergebnis
12.10.2015, 14:33	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralberechnung mittels Riemann-Summen Dann sag mal was die Ableitung von $\begin{eqnarray} x \mapsto a^x - 1 \end{eqnarray}$ ist.
12.10.2015, 14:36	AliceD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralberechnung mittels Riemann-Summen Ich bekomme da $\begin{eqnarray} xa^{x-1} \end{eqnarray}$ . Wahrscheinlich ist das nicht richtig.
12.10.2015, 14:37	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralberechnung mittels Riemann-Summen Nein. Es ist $\begin{eqnarray} (x^n)' = n x^{n-1} \end{eqnarray}$ , d.h. x muss in der Basis stehen. Hier hast du eine Exponentialfunktion. Schließlich ist die Ableitung von $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ erneut $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ , und nicht $\begin{eqnarray} x e^{x-1} \end{eqnarray}$ .
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12.10.2015, 14:40	AliceD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralberechnung mittels Riemann-Summen Stimmt, oh man danke! Ich vesuch das dann nochmal
13.10.2015, 14:09	AliceD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralberechnung mittels Riemann-Summen Ok die Aufgabe habe ich gelöst =). Nun habe ich aber noch eine andere vom gleichen Typ wo ich einfach nicht weiter komme. a.) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{x}{1-e^{x} } \end{eqnarray}$ b.) $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! e^{x} \, dx \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_{k} =\frac{k}{n} , t_{k} = x_{k-1} \end{eqnarray}$ Ansatz: Für a.) habe ich als GW -1. Für die Riemann-Summe habe ich bis jetzt $\begin{eqnarray} S_{n} = \frac{1}{ne^{\frac{1}{n} } } \sum\limits_{k=1}^{n} e^{\frac{k}{n} } \end{eqnarray}$ erreicht und nun komme ich nicht weiter. Ich habe schon über die Reihendarstellung für die Exponentialfkt. nachgedacht und auch über die Darstellung von e als GW von $\begin{eqnarray} (1+\frac{1}{n})^{n} \end{eqnarray}$ aber bis jetzt sehe ich damit keine Möglichkeit voran zu kommen. Über einen Tipp wäre ich sehr froh
13.10.2015, 14:12	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralberechnung mittels Riemann-Summen Es hilft vermutlich schon, wenn ich das als $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n e^{k/n} = \sum_{k=1}^n [e^{1/n}]^k = \sum_{k=1}^n q^k \end{eqnarray}$ schreibe, mit $\begin{eqnarray} q = e^{1/n} \end{eqnarray}$ .
13.10.2015, 14:27	AliceD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralberechnung mittels Riemann-Summen Das sieht wirklich sehr hilfreich aus! Ich versuchs damit
14.10.2015, 13:06	AliceD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralberechnung mittels Riemann-Summen Hey, durch den Hinweis mit der geometrischen Summenformel bin ich jetzt bis zu folgendem Ausdruck gekommen: $\begin{eqnarray} S_{n} = \frac{1}{nq} \sum\limits_{k=1}^{n} q^{k} = \frac{1}{nq}(\frac{1-q^{n+1} }{1-q} -1 ) = \frac{ \frac{1}{n} - \frac{q^{n} }{n} }{1-q} - \frac{1}{nq} \end{eqnarray}$ Der Teil rechts von dem Minus geht gegen 0 für n gegen unendlich. Das Problem ist irgendwie der Zähler von dem Bruch der links vom Minus steht, der Nenner hat ja schon die Form die ich brauche um den Aufgabenteil a.) anzuwenden. Ich habe schon verschiedene Umformungen versucht aber die haben letztlich immer nur dazu geführt das der Zähler gegen 0 konvergiert
14.10.2015, 13:19	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralberechnung mittels Riemann-Summen Die letzte Umformung stimmt nicht. Aber man kann es korrigieren zu $\begin{eqnarray} S_{n} = \frac{1}{nq} \sum\limits_{k=1}^{n} q^{k} = \frac{1}{nq}(\frac{1-q^{n+1} }{1-q} -1 ) = \frac{ \frac{1}{qn} - \frac{q^{n} }{n} }{1-q} - \frac{1}{nq} \end{eqnarray}$ , was sehr umständlich ist, aber richtig. Da du den Hinweis benutzen willst, lohnt es sich $\begin{eqnarray} \frac{ \frac{1}{qn} - \frac{q^{n} }{n} }{1-q} = \left( \frac 1 q - q^n\right)\frac{ \frac{1 }{n} }{1-q} \end{eqnarray}$ zu schreiben. Jetzt kann man von beiden Faktoren den Grenzwert bilden und kommt zum erwünschten Ergebnis. Es ist alles etwas schöner, wenn man direkt kürzt und den Index-shiftet, so dass $\begin{eqnarray} S_{n} = \frac{1}{nq} \sum\limits_{k=1}^{n} q^{k} = \frac 1 n \sum_{k = 0}^{n-1} q^k \end{eqnarray}$ .
14.10.2015, 13:28	AliceD	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralberechnung mittels Riemann-Summen Vielen Dank, auch für den letzten Hinweis mit der Indexverschiebung

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