Beispiele zur Injektivität, Surjektivität etc.

12.10.2015, 18:38

analysis_beginner

Beispiele zur Injektivität, Surjektivität etc.

Hallo,

mir sind die Begriffe, injektiv, surjektiv und bijektiv erstmals untergekommen und habe mittels Beispiel(Anhang) Fragen dazu.

Allgemeine Fragen:
1. Die 3 Begriffe:
Injektiv: Eine Funktion f: X -> Y ist injektiv, wenn die Funktionswerte(f(x)) in Y nicht dieselben x-Werte zugeordnet bekommen, d.h. jedem Funktionswert darf nur einen x-Wert zugeordnet werden.
Surjektiv: Jeder Funktionswert in Y muss mind. einem x-Wert zugeordnet sein.
Bijektiv: Hier muss jedem Funktionswert in Y ein x-Wert zugeordnet sein UND die x-Werte müssen verschieden sein, also jeder einzelne x-Wert zeigt auf einen anderen Y-Wert --> Es müssen halt ALLE Y-Werte "getroffen" werden.

2. Injektiv bedeutet doch auch "linkseindeutig" und Surjektiv nennt man auch "rechtstotal", richtig?

Fragen auf das Beispiel bezogen:
1. Ist bei den gegebenen Funktionen nun [a,b] der Definitionsbereich und die reelen Zahlen der Wertebereich bzw. Funktionsbereich? Aber was sagt denn [a,b] aus?

Würde mich über ein paar Tipps freuen!

Gruß
analysis_beginner

12.10.2015, 18:53

Mulder

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RE: Beispiele zur Injektivität, Surjektivität etc.
[a,b] ist einfach ein Intervall. Die Schreibweise sollte eigentlich bereits aus der Schule geläufig sein. x soll eben nur aus diesem Intervall abgebildet werden. Ist also der Definitionsbereich, ja. Abgebildet wird auf die rellen Zahlen, die bilden die Zielmenge, ja.

Bijektiv ist einfach injektiv und surjektiv zugleich. Wenn man injektiv und surjektiv verstanden hat, dann auch bijektiv.

12.10.2015, 19:00

steviehawk

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RE: Beispiele zur Injektivität, Surjektivität etc.
Hallo,

zunächst mal werden den $\begin{eqnarray*} x - \end{eqnarray*}$ Werten die $\begin{eqnarray*} y - \end{eqnarray*}$ Werte zugeordnet und nicht umgekehrt.

Injektivität der Funktion $\begin{eqnarray*} f : X \to Y \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass für alle $\begin{eqnarray*} a,b \in X \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(a) = f(b) \Rightarrow a = b \end{eqnarray*}$

Vielleicht kennst du schon das Kontrapositionsgesetz/Regel. $\begin{eqnarray*} A \Rightarrow B \end{eqnarray*}$ dann: $\begin{eqnarray*} \neg B \Rightarrow \neg A \end{eqnarray*}$

Also kannst du die Injektivität auch so verstehen: $\begin{eqnarray*} \forall a,b \in X : a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b) \end{eqnarray*}$

Gewöhne dich lieber gleich an die Quantoren, sie machen einem das Leben auf Dauer leichter:

Surjektivität der Funktion $\begin{eqnarray*} f: X \to Y \end{eqnarray*}$ bedeutet: $\begin{eqnarray*} \forall y \in Y \exists x \in X : f(x) = y \end{eqnarray*}$

Bijektivität lässt sich doch am einfachsten als injektiv und surjektiv beschreiben.

Nun zur Aufgabe:

Es stimmt, dass $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ der Definitionsbereich ist. Hier leben deine $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Wenn du dir meine Def. von oben ansiehst, dann gilt gerade: $\begin{eqnarray*} X = [a,b] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ ist ein s.o.g abgeschlossenes Intervall. Es gilt in deinem Fall: $\begin{eqnarray*} [a,b] = \{x \in \mathbb R | a \leq x \leq b \} \end{eqnarray*}$

Ich gebe mal noch einen Tipp mehr als Mulder:

Du fängst ungefähr so an: Seien $\begin{eqnarray*} f,g : [a,b] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ zwei injektive Funktionen.

Es gilt: $\begin{eqnarray*} (f+g)(x) = f(x) + g(x) \end{eqnarray*}$ . Nun musst du prüfen, ob die Definition der Injektivität erfüllt ist. Also nimmst du dir zwei $\begin{eqnarray*} x,y \in [a,b] \end{eqnarray*}$ und setzt an:

$\begin{eqnarray*} (f+g)(x) = (f+g)(y) \Leftrightarrow ... \text{Ab hier bist du dran} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

12.10.2015, 19:11

analysis_beginner

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Ja ok, das mit dem Intervall ist klar: Von a bis b ist einfach der Definitionsbereich.

Lass und mal a) besprechen bitte:
[a,b] ist ja ein belieger Intervall, z.B. $\begin{eqnarray*} [0, \infty] \end{eqnarray*}$
Wenn ich nun 2 injektive Funktionen addiere, dann hat die addierte Funktion ja neue Funktionswerte im Zielbereich, der Definitionsbereich bleibt jedoch gleich, da ich dieselben x "reinschicke", wie vorher.

Wenn f1(x) = x + 1 und f2(x)=x+2, dann wäre die addierte Funktion weiterhin injektiv, stimmt das so, oder kann man da noch etwas ergänzen?

12.10.2015, 19:22

Mulder

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RE: Beispiele zur Injektivität, Surjektivität etc.

Zitat:

Original von analysis_beginner
Wenn f1(x) = x + 1 und f2(x)=x+2, dann wäre die addierte Funktion weiterhin injektiv, stimmt das so, oder kann man da noch etwas ergänzen?

Da steht nichts falsches. Hat aber mit der Aufgabenstellung nix zu tun.

Du sollst entscheiden, ob die Aussage wahr oder falsch ist. Das heißt, entweder man sucht ein konkretes Beispiel, bei dem die Aussage nicht zutrifft, dann ist sie widerlegt, oder man beweist die Richtigkeit der Aussage, das muss man dann aber allgemein beweisen und nicht anhand von konkreten Beispielen. Natürlich kann man sich zig Millionen Beispiele basteln, bei denen die Aussage zutrifft. Das heißt aber nicht, dass es nicht doch irgendein Beispiel gibt, bei dem die Aussage eben nicht zutrifft. Hat also null Aussagekraft.

Um dir eine Stütze zu geben: Aussage a) ist falsch. Such also ein Gegenbeispiel.

12.10.2015, 19:52

analysis_beginner

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Ahja, ist eh einfach!

a) Wenn f1(x)=x und f2(x)=-x ist, dann sind ja f1 und f2 injektiv. Wenn man diese jedoch addiert, dann bekommt man f(x)=0, d.h. man hat für einen x-Wert(0) verschiedene y-Werte. Injektiv heißt, aber das man verschiedene x-Werte auf verschiedene y-Werte haben soll, dass trifft im diesem Fall nicht zu --> nicht injektiv

b) c*f1(x) Naja wenn hier unser f1 wieder x ist und wir verändert mit c ja nur die Steilheit, d.h. das ist weiterhin injektiv. Aber diese Aussage ist nicht ausreichend und ich brauche einen Beweis oder?

c) x*x = x^2 und da wir als Wertebereich die reelen Zahlen haben, haben wir für 2 x-werte(2,-2) denselben y-wert, was nicht zutreffen darf --> nicht injektiv.

Was sagst du dazu?

12.10.2015, 20:27

Mulder

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Zitat:

Original von analysis_beginner
a) Wenn f1(x)=x und f2(x)=-x ist, dann sind ja f1 und f2 injektiv. Wenn man diese jedoch addiert, dann bekommt man f(x)=0, d.h. man hat für einen x-Wert(0) verschiedene y-Werte. Injektiv heißt, aber das man verschiedene x-Werte auf verschiedene y-Werte haben soll, dass trifft im diesem Fall nicht zu --> nicht injektiv

Jo. Bloß eines: Man hat nicht für einen x-Wert verschiedene y-Werte (wäre das so, wäre f gar keine Funktion!), sondern für einen y-Wert hat man verschiedene x-Werte.

Zitat:

Original von analysis_beginner
b) c*f1(x) Naja wenn hier unser f1 wieder x ist und wir verändert mit c ja nur die Steilheit, d.h. das ist weiterhin injektiv. Aber diese Aussage ist nicht ausreichend und ich brauche einen Beweis oder?

Naja, du bist gedanklich wohl auf der richtigen Spur, denke ich. Aber du brauchst natürlich einen vernünftigen Beweis der Aussage. Dazu solltest du direkt mit der Definition der Injektivität arbeiten.

Zitat:

Original von analysis_beginner
c) x*x = x^2 und da wir als Wertebereich die reelen Zahlen haben, haben wir für 2 x-werte(2,-2) denselben y-wert, was nicht zutreffen darf --> nicht injektiv.

Entscheidend ist natürlich, hier auch einen geeigneten Definitionsbereich anzugeben. Wenn ich z.B. das Intervall [0,1] angucke, dann ist auch f(x)=x² noch injektiv. Aber wählt man z.B. das Intervall [-2:2] oder sowas, dann stimmt deine Argumentation. Das hattest du natürlich so im Sinn, das ist deinem Text zu entnehmen. Aber um Missverständnisse zu vermeiden, immer auch das von dir gewählte Intervall explizit mit angeben. Das gilt natürlich auch bei a), aber da ist es im Prinzip scheißegal, was für ein Intervall du wählst.

13.10.2015, 06:50

analysis_beginner

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Ah OK, danke.

Einen Frage hätte ich noch zu diesem Thema: warum kann man nur bijektive Funktionen umkehren? Oder wo liegt der Zusammenhang zwischen umkehren und bijektiv.

13.10.2015, 07:42

steviehawk

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Guten Morgen,

Wie du richtig geschrieben hast gilt: $\begin{eqnarray*} f \ \text{bijektiv} \Leftrightarrow f \ \text{invertierbar} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} " \Rightarrow " \end{eqnarray*}$

Sein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine bijektive Funktion, dann wird jedem $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ auf genau ein $\begin{eqnarray*} y_i \end{eqnarray*}$ zugeordnet und jedes $\begin{eqnarray*} y_i \end{eqnarray*}$ wird auch nur von einem $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ getroffen. Daraus können wir uns ganz einfach eine Umkehrfunktion basteln, die wir einfach angeben können.

$\begin{eqnarray*} g: Y \to X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(y_i) = ... \end{eqnarray*}$

Wie muss die aussehen?

$\begin{eqnarray*} " \Leftarrow " \end{eqnarray*}$

Nun sein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ invertierbar. Es gilt dann: $\begin{eqnarray*} f \circ f^{-1} = id_X \end{eqnarray*}$

Die Identität $\begin{eqnarray*} id_X \end{eqnarray*}$ ist surjektiv und injektiv, also bijektiv. Dann muss aber $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv sein und $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ injektiv (das müsste man vielleicht auch noch mal extra zeigen, dass das bei solchen Verkettungen immer gilt)

nun kannst du noch ansetzen $\begin{eqnarray*} f^{-1} \circ f = id_Y \end{eqnarray*}$ . Hieraus kannst du wie gerade auch folgern, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv ist und $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ surjektiv ist.

Also ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und auch $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ bijektiv.

13.10.2015, 19:42

analysis_beginner

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Zitat:

Original von steviehawk
$\begin{eqnarray*} g: Y \to X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(y_i) = ... \end{eqnarray*}$

Also g ist hier die Umkehrfunktion von Y zu X. f war ja von X zu Y. Ok, ja ist einfach umgekehrt, logisch.
Und g(y), da ja jetzt y die abhängige Variable ist. Bitte verbessern, falls ich falsch liege.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} " \Leftarrow " \end{eqnarray*}$

Nun sein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ invertierbar. Es gilt dann: $\begin{eqnarray*} f \circ f^{-1} = id_X \end{eqnarray*}$

Die Identität $\begin{eqnarray*} id_X \end{eqnarray*}$ ist surjektiv und injektiv, also bijektiv. Dann muss aber $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv sein und $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ injektiv (das müsste man vielleicht auch noch mal extra zeigen, dass das bei solchen Verkettungen immer gilt)

nun kannst du noch ansetzen $\begin{eqnarray*} f^{-1} \circ f = id_Y \end{eqnarray*}$ . Hieraus kannst du wie gerade auch folgern, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ injektiv ist und $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ surjektiv ist.

Also ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und auch $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ bijektiv.

Was bedeutet $\begin{eqnarray*} f \circ f^{-1} = id_X \end{eqnarray*}$ ? Ist mir nicht ganz klar.

13.10.2015, 23:37

DieLösung

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Das heißt einfach nur, dass x auf x abgebildet wird, wenn man die Umkehrfunktion in die Ursprungsfunktion einsetzt.

13.10.2015, 23:43

RavenOnJ

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Zitat:

Original von analysis_beginner

Was bedeutet $\begin{eqnarray*} f \circ f^{-1} = id_X \end{eqnarray*}$ ? Ist mir nicht ganz klar.

Wenn $\begin{align*} f \end{align*}$ injektiv, dann ist $\begin{align*} f^{-1} \end{align*}$ eine Abbildung $\begin{align*} f^{-1}:X|_{\operatorname{im} f}\to Y \end{align*}$ . Ist $\begin{align*} f \end{align*}$ auch surjektiv, dann ist das Bild $\begin{align*} \operatorname{im} f \end{align*}$ gleich $\begin{align*} X \end{align*}$ und $\begin{align*} f^{-1}:X\to Y \end{align*}$ . Damit wird die Verkettung $\begin{align*} f\circ f^{-1} = \operatorname{id}_X \end{align*}$ , also die Identitätsabbildung auf $\begin{align*} X \end{align*}$ .

14.10.2015, 08:38

steviehawk

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Guten Morgen,

du kannst es auch hier noch einmal unter folgendem Link nachlesen Augenzwinkern

hier

auf Seite 9 unten - besser kann man es glaub ich kaum erklären.

Viele Grüße

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