Feldstärke, hab ich richtig integriert?

13.10.2015, 20:00

aslmx

Feldstärke, hab ich richtig integriert?

Hi zusammen,

Mathe liegt schon wieder etwas zurück und nun stolpere ich bei der Feldstärke über eine Gleichung mit Integral die mich etwas fordert.

Im Skript steht natürlich wieder keine komplette Herleitung, aber ich bilde mir ein ich verstehe es besser wenn ich mir das mal komplett Schritt für Schritt ausrechne.

Und zwar steht im Heft folgende Gleichung

$\begin{eqnarray*} E(r) = \frac {U \cdot r_i \cdot r_a}{r^2 \cdot (r_a - r_i)} \phi (r) = \int_{r}^{r_a}~ \vec E(r) \cdot d \vec r = \frac{U r_i}{r_a - r_i} \cdot \frac {r_a - r}{r} \end{eqnarray*}$

(kurze Randnotiz: Es geht um die Feldstärke bzw. das Potenzial in einem Kugelkondensator, r ist der variable Radius, r_i der Innenradius und r_a der Außenradius, r liegt dazwischen, U ist die anliegende Spannung)

Ich hab mir das nun wie folgt hergeleitet:

Da ich nach r ableite, kann ich alles was nicht direkt r ist vor das Integral ziehen, ungefähr so:

$\begin{eqnarray*} \phi (r) = \int_{r}^{r_a}~ \vec E(r) \cdot d \vec r = \frac{U r_i}{r_a - r_i} \cdot \frac {r_a - r}{r} \rightarrow \int_{r}^{r_a}~ \vec E(r) \cdot d \vec r = \frac {U \cdot r_i \cdot r_a}{(r_a - r_i)} \cdot \int_{r}^{r_a}~ \frac{1}{r^2} \end{eqnarray*}$

So, das Integral wäre dann ja jetzt nur über

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{r^2} \end{eqnarray*}$

das kann ich ja durch "Aufleiten" integrieren

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{r^{-2}} \rightarrow r^-2 \rightarrow \frac{r^-1}{-1} = -1 \cdot r^-1 = - \frac {1}{r} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe ich habs bis hier hin richtig...

damit wäre die Gleichung ja bisher

$\begin{eqnarray*} \phi (r) = \int_{r}^{r_a}~ \vec E(r) \cdot d \vec r = \frac{U r_i}{r_a - r_i} \cdot \frac {r_a - r}{r} \rightarrow \int_{r}^{r_a}~ \vec E(r) \cdot d \vec r = \frac {U \cdot r_i \cdot r_a}{(r_a - r_i)} \cdot \int_{r}^{r_a}~ \frac{1}{r^2} = \frac {U \cdot r_i \cdot r_a}{(r_a - r_i)} \cdot \left[ - \frac{1}{r} \right]_r^{r_a} = = \frac {U \cdot r_i \cdot r_a}{(r_a - r_i)} \cdot - \frac{1}{r_a} - ( - \frac{1}{r}) = = \frac {U \cdot r_i \cdot r_a}{(r_a - r_i)} \cdot - \frac{1}{r_a}+ \frac{1}{r} \end{eqnarray*}$

So und an dieser Stelle weiß ich nicht mehr ob mein eingeschlagener Weg überhaupt richtig ist oder ich irgendwo was einfacheres übersehen habe, jedenfalls fehlt mir jetzt gerade der Schritt von meiner letzten Zeile zu

$\begin{eqnarray*} \frac {U \cdot r_i \cdot r_a}{(r_a - r_i)} \cdot (- \frac{1}{r_a}+ \frac{1}{r}) = .... = \frac{U r_i}{r_a - r_i} \cdot \frac {r_a - r}{r} \end{eqnarray*}$

über einen kleinen Schubser in die richtige Richtung würde ich mich sehr freuen. Oder über ein "bis jetzt ist es richtig", weil da bin ich mir nicht ganz sicher...

Danke schonmal!
vgs

13.10.2015, 21:33

Mulder

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RE: Feldstärke, hab ich richtig integriert?

Zitat:

Original von aslmx
$\begin{eqnarray*} [...] = \frac {U \cdot r_i \cdot r_a}{(r_a - r_i)} \cdot \left[ - \frac{1}{r} \right]_r^{r_a} = = \frac {U \cdot r_i \cdot r_a}{(r_a - r_i)} \cdot \color{red}(\color{black} - \frac{1}{r_a} - ( - \frac{1}{r}) \color{red})\color{black} = = \frac {U \cdot r_i \cdot r_a}{(r_a - r_i)} \cdot \color{red}(\color{black} - \frac{1}{r_a}+ \frac{1}{r} \color{red})\color{black} \end{eqnarray*}$

Die Klammer, die ich eingefügt und rot markiert habe, darf hier natürlich nicht fehlen! Punkt vor Strich und so ...

In der nächsten Zeile ...

Zitat:

Original von aslmx $\begin{eqnarray*} \frac {U \cdot r_i \cdot r_a}{(r_a - r_i)} \cdot (- \frac{1}{r_a}+ \frac{1}{r}) = .... = \frac{U r_i}{r_a - r_i} \cdot \frac {r_a - r}{r} \end{eqnarray*}$

taucht die Klammer dann ja auch auf. Und naja, was dann noch zu tun ist, ist elementares Bruchrechnen. Der Faktor $\begin{eqnarray*} r_a \end{eqnarray*}$ wird auf den Faktor in der Klammer verschoben (kann man ja machen,wie man lustig ist) und dann erhält man (den Rest lass ich mal weg):

$\begin{eqnarray*} r_a \cdot (- \frac{1}{r_a}+ \frac{1}{r}) = -\frac{r_a}{r_a} + \frac{r_a}{r} = -1 + \frac{r_a}{r} = -\frac{r}{r}+ \frac{r_a}{r} = \frac{-r+r_a}{r} \end{eqnarray*}$

13.10.2015, 22:07

aslmx

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RE: Feldstärke, hab ich richtig integriert?

Zitat:

Original von Mulder
Und naja, was dann noch zu tun ist, ist elementares Bruchrechnen.

Das hatte ich befürchtet, denn ....

Zitat:

Original von MulderDer Faktor $\begin{eqnarray*} r_a \end{eqnarray*}$ wird auf den Faktor in der Klammer verschoben (kann man ja machen,wie man lustig ist) und dann erhält man (den Rest lass ich mal weg):

$\begin{eqnarray*} r_a \cdot (- \frac{1}{r_a}+ \frac{1}{r}) = -\frac{r_a}{r_a} + \frac{r_a}{r} = -1 + \frac{r_a}{r} = -\frac{r}{r}+ \frac{r_a}{r} = \frac{-r+r_a}{r} \end{eqnarray*}$

... es fehlt mir immer an "Phantasie diese Schritte" nachzuvollziehen... ich bin immer beeindruckt von den Tricks die manche Leute aus der Tasche ziehen...

$\begin{eqnarray*} r_a \cdot (- \frac{1}{r_a}+ \frac{1}{r}) = -\frac{r_a}{r_a} + \frac{r_a}{r} = \textcolor{red}{ -1} + \frac{r_a}{r} = \textcolor{red}{-\frac{r}{r} }+ \frac{r_a}{r} = \frac{-r+r_a}{r} \end{eqnarray*}$
... und dann einfach mal aus einer -1 einen gleichwertigen aber anderslautenden Bruch herzuzaubern mit dem man was anderes passend kombinieren kann... ich werde es wohl nie beherrschen...

Danke, das hilft mir weiter... und ich lag ja mit dem Integral schonmal nicht so falsch, das beruhigt mich...

schönen Abend noch!

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