Jäger schießen auf Enten

13.10.2015, 21:41

onkelspike

Jäger schießen auf Enten

Meine Frage:
10 treffsichere jäger schießen gleichzeitig und unabhängig auf 8 aufsteigende enten. wie viele überleben?

Meine Ideen:
Die Lösung ist ca. 26 % also 2 Enten. Ich benötige den Lösungsweg

13.10.2015, 21:52

HAL 9000

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Sei $\begin{align*} X \end{align*}$ die zufällige Anzahl der überlebenden Enten. Die genaue Verteilung von $\begin{align*} X \end{align*}$ auszurechnen ist relativ aufwändig - und unnötig, wenn wir uns nur für den Erwartungswert $\begin{align*} E(X) \end{align*}$ interessieren: Es ist $\begin{align*} X=\sum_{k=1}^8 X_k \end{align*}$ , wobei wir die Indikatorvariablen

$\begin{align*} X_k = \begin{cases} 1 & \;\mbox{Ente Nr. $k$ überlebt} \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{align*}$

betrachten. Offenbar ist dann nämlich $\begin{align*} E(X)=\sum_{k=1}^8 E(X_k) = 8\cdot E(X_1) = 8\cdot P(X_1=1) \end{align*}$ , und diese letztere Wahrscheinlichkeit überlasse ich dir.

13.10.2015, 22:24

onkelspike

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Vielen Dank.

14.10.2015, 11:25

HAL 9000

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Ich hatte eigentlich erwartet, dass du was zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit $\begin{align*} P(X_1=1) \end{align*}$ sagst - oder danach fragst, falls du nicht weißt, wie man die angeht. So wie jetzt wirkt der Thread ziemlich unfertig. Augenzwinkern

14.10.2015, 11:45

Weidmann

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Zitat:

Original von onkelspike
Meine Frage:
10 treffsichere jäger schießen gleichzeitig und unabhängig auf 8 aufsteigende enten. wie viele überleben?

geht es darum wie viele Enten überleben
oder wie viele Jäger überleben

14.10.2015, 12:12

wopi

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@ Hal9000:

Mich würde die Berechnung von P( X1 =1) interessieren

Gruß wopi

14.10.2015, 12:47

Dopap

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ich bin zwar nicht HAL9000 würde aber meinen:

$\begin{eqnarray*} p(X_1=1)= \bigg( \frac 78 \bigg)^{10} \end{eqnarray*}$

14.10.2015, 15:56

HAL 9000

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Richtig, womit wir auf

$\begin{align*} E(X) = 8\cdot \left(\frac{7}{8}\right)^{10} = \frac{7^{10}}{8^9} \approx 2.1046 \end{align*}$

kommen. Auch die Varianz (nach der hier nicht gefragt ist) könnte man über dieses $\begin{align*} X=\sum_{k=1}^8 X_k \end{align*}$ berechnen. Zunächst ist

$\begin{align*} E(X^2) &= E\left( \sum_{k=1}^8 \sum_{j=1}^8 X_k X_j \right) = \sum_{k=1}^8 E(X_k^2) + \sum_{k=1}^8 \sum_{\substack{j=1\\j\neq k}}^8 E(X_k X_j) = 8E(X_1^2) + 56E(X_1X_2) \\ &= 8P(X_1=1)+56P(X_1=1,X_2=1) = E(X) + 56\cdot \left(\frac{6}{8}\right)^{10} \end{align*}$

und daraus dann $\begin{align*} V(X)=E(X^2)-(E(X))^2 \approx 0.8288 \end{align*}$ .

Aber wie gesagt, die gesamte Verteilung von $\begin{align*} X \end{align*}$ auszurechnen - d.h. alle Wahrscheinlichkeiten $\begin{align*} P(X=x) \end{align*}$ für $\begin{align*} x=0\ldots7 \end{align*}$ - wäre ein ziemlich hartes Brot.

14.10.2015, 16:20

Dopap

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und zuerst die "echte" Verteilungsfunktion mit $\begin{eqnarray*} p(X\leq x) \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, um dann mittels

$\begin{eqnarray*} p(X=x)= p(X \leq x)-p(X\leq x-1) \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeitsfunktion zu realisieren ist hier wohl auch kein gangbarer Weg. ?

Manchmal funktioniert das ja.

14.10.2015, 16:47

HAL 9000

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Hmm, im vorliegenden Fall macht das die Sache nicht wirklich einfacher, wenn ich das richtig überblicke.

Man kann sich erstmal folgendem Teilproblem widmen: Sei o.B.d.A. $\begin{align*} \{1,2,\ldots,m\} \end{align*}$ mit $\begin{align*} 1\leq m\leq 8 \end{align*}$ eine exemplarische $\begin{align*} m \end{align*}$ -elementige Teilmenge der Enten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit $\begin{align*} p_m \end{align*}$ werden genau diese Enten abgeschossen? Mit Siebformel unter Verwendung der Ereignisse

$\begin{align*} A_k \end{align*}$ ... Ente $\begin{align*} k \end{align*}$ wird nicht geschossen

ergibt sich $\begin{align*} p_m = \sum_{k=0}^{m-1} (-1)^k \binom{m}{k}\left(\frac{m-k}{8}\right)^{10} \end{align*}$ . Und damit ist dann

$\begin{align*} P(X=x) = \binom{8}{x}\cdot p_{8-x} = \binom{8}{x} \sum_{k=0}^{7-x} (-1)^k \binom{8-x}{k}\left(\frac{8-x-k}{8}\right)^{10} \end{align*}$ für $\begin{align*} x=0\ldots 7 \end{align*}$

14.10.2015, 21:51

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Ich habe hier mal die Werte berechnet und gerundet

0...0.0282
1...0.2208
2...0.4286
3...0.2661
4...0.0534
5...0.0029
6...0
7...0

VG

15.10.2015, 16:24

HAL 9000

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Ja, kommt so hin. Die Werte für 6 und 7 sind zwar größer 0, aber die ersten vier Nachkommastellen sind da tatsächlich 0.

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