Normalkrümmung/Hauptkrümmung Zylinder

14.10.2015, 09:28	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalkrümmung/Hauptkrümmung Zylinder Meine Frage: Hallo Leute, ich bräuchte mal noch dringend Hilfe (morgen ist Prüfung ) Ich betrachte den Zylinder $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ mit der Parametrisierung $\begin{eqnarray} F(\varphi, r) = (\cos( \varphi ), (\sin ( \varphi) , r) \ ;\ \varphi \in [0,2 \pi], r \in \mathbb R \end{eqnarray}$ So nun geht es um die Hauptkrümmungen und die Normalkrümmungen. Ich weiß, dass ich die Hauptkrümmungen im Punkt $\begin{eqnarray} p \in Z \end{eqnarray}$ an den Eigenwerten der Matrixdarstellung der Weingartenabbildung ablesen kann. Mir ist auch klar, wie ich die bestimme. So nun ist es so, dass die Hauptkrümmungen das Maxima und das Minima aller Normalkrümmungen darstellen. Für die Weingartenabbildung des Zylinders erhalte ich folgende Matrixdarstellung: $\begin{eqnarray} w_{ij} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ daraus lese ich ab: $\begin{eqnarray} \kappa_1 = -1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \kappa_2 = 0 \end{eqnarray}$ das sind meine Hauptkrümmungen. Also ist die Maximale Normalkrümmung $\begin{eqnarray} \max \{ \kappa_{nor} \} = 0 \end{eqnarray}$ und die minimale Normalkrümmung $\begin{eqnarray} \min \{ \kappa_{nor }\} = -1 \end{eqnarray}$ Nun kommt später im Buch von Christian Bär zur Differentialgeometrie ein Bild vom Zylinder aus dem unteranderem hervorgeht, dass die Normalkrümmungen sich nur zwischen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} + 1 \end{eqnarray}$ bewegen. Das wundert mich jetzt, da ich ja oben gerade $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ als Hauptkrümmungen raus habe und diese Max und Min der Normalkrümmung darstellen. Meine Ideen: Ich hab da natürlich jetzt ne Weile drüber nachgedacht und bin zu folgendem Ergebnis gekommen, von dem ich gerne wissen würde ob es so stimmt. Also die Normalkrümmung ist ja die Krümmung der Raumkurve, die durch den Schnitt der Ebene (aufgespannt durch $\begin{eqnarray} c' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} N(p) \end{eqnarray}$ ) und der Fläche entsteht. Bei einer Raumkurve ist aber die Krümmung nur betragsmäßig definiert. Es macht im $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ ja keinen Sinn von Links - und Rechtskurven zu sprechen. Jetzt würde ich sagen, dass die Hauptrkümmungen nur betragsmäßig das Minimum und Maximum darstellen. Aber das macht irgendwie auch kein Sinn, weil ich auch gelesen habe, dass die Normalkrümmung das VZ wechselt bei Änderung der Orientierung der Fläche ( $\begin{eqnarray} N(p) \to - N(p) \end{eqnarray}$ ) Kann mir das jemand nochmal erklären? Für mich macht es anschaulich überhaupt keinen Sinn zu sagen, dass $\begin{eqnarray} \kappa_2 = 0 \end{eqnarray}$ das Maximum der Normalkrümmung ist. Ich würde das intuitiv eher betragsmäßig betrachten, aber das steht so nirgends Danke vielmals EDIT: So nun habe ich 2 Seiten weiter geblättert Da steht, dass die Weingartenabbildung mit innerem Einheitsnormalenfeld und passender Basis die Form: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ hat. Ich gehe mal davon aus, dass bei dem Bild von dem ich vorhin sprach nicht mehr die gleiche Parametrisierung wie im Kapitel davor verwendet wurde und es nur zur Anschauung dienen sollte. Die Überlegung mit dem Betrag kann ich also vergessen. Insbesondere weil in dem Buch steht, dass die Normalkrümmung die Krümmung der EBENEN - Kurve ist. (Wie man diese Ebene bekommt habe ich ja oben gesagt). Diese EBENE - Kurve hat aber bei der Krümmung ein Vorzeichen. So jetzt ist mir das auch wieder klar

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