Tangentenaufgabe

14.10.2015, 19:35

stifhif

Tangentenaufgabe

Meine Frage:
Hallo,
also ichschreibe am MOntag eine Mathearbeit und verstehe das momentane Thema gar nicht. Ich sitze schon seid drei Tagen vor meinen Büchern und Aufschrieben und tue mich immer noch sehr schwer vor allem bei dieser Aufgabe:
Die Mittellinie der gezeichneten Rennstrecke wird durch y: 4-1/2x² beschrieben.
Bei spiegelglatter Fahrbahn rutscht ein Fahrzeug und landet im Punkt Y (0/6) in den Strohballen. Wo hat das Fahrzeug die Straße verlassen? Wo hat das Fahrzeug die Straße verlassen?

Meine Ideen:
ALso: Ich weiß, dass die Tangentengleichung y=mx+c ist. so nun habe ich die Ableitung von f herausgefunden und die ist -x , wenn das stimmt.
Kann mir jemand bei dem nächsten Schritt helfen ich bin am verzweifeln.
Vielen Dank

14.10.2015, 20:21

mrdo87

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Hallo,

die Ableitung stimmt soweit. Die Ableitung an der Stelle, an der die Tangente die Funktion berührt, gibt dir ja die Steigung deiner Tangenten. Nur weißt du aktuell nicht, wo die Tangente die Funktion berührt. Also nennen wir die Stelle einfach mal $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$

-> $\begin{eqnarray*} y=-x_0\cdot x+c \end{eqnarray*}$

Den Parameter c kannst du ganz einfach mit dem gegeben Punkt bestimmen, ist dir das klar?

Anschließend: Da sich Tangente und Funktion natürlickh berühren müssen, kann man die beiden Funktionen gleich setzen (Vergleich: Schnittpunkte bestimmen)

Da der Schnittpunkt natürlich auch an der selben Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ liegen muss, kannst du hier überall $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ für x einsetzen

14.10.2015, 21:03

stifhif

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Ja also c berechne ich dann in dem ich für y die 6 einsetze und für x die null also komm ich dann durch das lineare gleichungssystem auf c=6
Aber wie rechne ich dann weiter, ich verstehe den nächsten Schritt nicht.
Vielen Dank für die Hilfestellung

14.10.2015, 21:22

mYthos

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Es gibt einen alternativen Lösungsweg, wobei zunächst eine Geradengleichung durch den Punkt (0; 6) aufgestellt und diese mit der Parabel geschnitten wird.
Bei der Lösung darf es nur einen Berührungspunkt geben. Diese Tatsache bedingt, dass die Diskriminante der quadratischen Gleichung, die die Schnittpunkte liefert, Null sein muss, damit es nur eine Lösung gibt.

t ... y = kx + d durch 0/6 >>> d = 6
t ... y = kx + 6

Schnitt mit Parabel

$\begin{eqnarray*} kx + 6 = 4 - \frac {x^2} 2 \end{eqnarray*}$

Nach x auflösen, enthält noch k, Diskriminante = 0 >>> Gleichung in k, k berechnen, gleichzeitig erhält man x0

EDIT:
Auch der Weg von mrdo87 ist vielversprechend, wenn auch etwas schwerer zu verstehen.
Denn es ist essentiell, dass man zunächst zwischen x und x0 genau unterscheiden muss, das eine ist eine laufende Koordinate und das andere die Koordinate des Berührungspunktes. Erst wenn man dann die beiden Kurven zum Schnitt bringt (wird T), wird alles x0 bzw. y0

Die Steigung der Tangente im Berührungspunkt T(x0; y0) lautet -x0, so weit wurde dies mittels der Ableitung bereits berechnet. Die Konstante ist, wie man durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes (0; 6) findet, gleich 6

Es muss also die Gerade $\begin{eqnarray*} y = -x_0x + 6 \end{eqnarray*}$ mit der Parabel $\begin{eqnarray*} y = 4 - \frac{x^2} 2 \end{eqnarray*}$ gleichgesetzt werden.
Dabei löst man nach x und y auf, indem die beiden Terme für y gleichgesetzt werden.
Dabei ist x = x0 zu setzen und nach x0 aufzulösen.
Die Lösungen sind dann als die Koordinaten x0; y0 des Berührungspunktes gefunden.

Erfahrungsgemäß ist dieser letzte Schritt das, was einige Verständnischwierigkeiten bereitet.
Hast du dies jetzt dennoch so weit verstanden?

Es bleibt natürlich immer noch der alternative Weg über die Diskriminante offen.

mY+

14.10.2015, 23:04

stifhif

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Fällt mir irgendwie schwer, dass zu verstehen, vor allem ist mir der Begriff diskriminante neu....

14.10.2015, 23:12

mYthos

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Die Diskriminante ist der Ausdruck unter der Wurzel bei der Lösungsformel der quadratischen Gleichung.
Also bei der p-q - Formel der Ausdruck $\begin{eqnarray*} (\frac p 2)^2 - q \end{eqnarray*}$

Kannst du dem erstgenannten Weg auch nichts abgewinnen? Wo liegt das Problem?

mY+

14.10.2015, 23:14

stifhif

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Ah okay ich glaube ich habe es verstanden vielen Dank.
Bei der Aufgabe steht, dass ich auch den Taschenrechner verwenden darf, könnte ich dann theoretisch auch die beiden Gleichungen eingeben und einfach den Schnittpunkt berechnen?

14.10.2015, 23:29

mYthos

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Ja, wenn der TR auch algebraische Eingaben verarbeiten kann (?), dann versuche es.
Allerdings solltest du das auch manuell rechnerisch bewerkstelligen können.
Wie dem auch sei, das Resultat ist x0 = 2, y0 = 2

Kommst du dorthin?

mY+

15.10.2015, 04:14

Dopap

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Das mit der Diskriminante funktioniert aber nur wenn die Kurve quadratisch ist.

Ansonsten stellt man eine Tangentenschar auf, der Parameter ist der $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ -Wert des Berührpunktes $\begin{eqnarray*} B(x_0, f(x_0)) \end{eqnarray*}$

Tangente : $\begin{eqnarray*} y(x):=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0) \end{eqnarray*}$

und nun setzt man eine weitere Bedingung für die Tangente ein. Hier ist es der Tangenten-Punkt (0,6)

Bemerkung: der Tangentenpunkt B(2,2) ist nur richtig wenn die Parabel links herum durchfahren wird. Im anderen Fall gilt B(-2,2)

15.10.2015, 06:36

stifhif

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Irgendwie fällt es mir doch schwer, dass zu verstehen.
Also mit dem GTR hat es schonmal nicht funktioniert.
In meinem aufschrieb sind wir noch auf eine Tangentengleichung, wenn man den Punkt p(u/f(u)) herausfinden will, gekommen. Könnte man diese Formel auch auf diese Aufgabe anwenden?
Vielleicht würde es mir dann leichter fallen und wie würde ich dann vorgehen?

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe

15.10.2015, 08:23

Dopap

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Ich würde immer meinem Vorschlag folgen, ich nenne ihn die nächtliche Autofahrt:
A.)
Rot ist die Strasse, Berührpunkt ist das fahrende Auto, die Tangente ist der Scheinwerferstrahl. Und während der Fahrt gerät irgendwann der Zusatzpunkt ( Baum ) in den Lichtkegel. Hier gilt es zu stoppen.
-------------------------------------------------------------------------------------------------
B.) Natürlich kann man auch im Zielpunkt ( Baum ) eine Geradenschar erzeugen ( rotierender Lichtstrahl) und dann eine bestimmte Gerade an die Kurve anlegen, was aber irgendwie eine Bastelei ist.

sei Zielpunkt $\begin{eqnarray*} P(x_p,y_p) \end{eqnarray*}$ ( Baum ) vorgegeben.

Die Geradenschar durch P mit dem Parameter m ist dann:

1.) $\begin{eqnarray*} y(x):=y_p+m(x-x_p) \end{eqnarray*}$

jetzt noch das Anlegen an die Kurve:

2.) $\begin{eqnarray*} \frac {f(x_0)-y_p}{x_0-x_p}=f'(x_0) \rightarrow x_0 \end{eqnarray*}$ oder auch keine oder mehrere Lösungen

3.) $\begin{eqnarray*} f'(x_0)=m \end{eqnarray*}$

was aber dann doch in der Reihenfolge 2.) 3.) 1.) gerechnet wird, was sich aber kaum von A.) unterscheidet.

15.10.2015, 18:56

mYthos

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@Dopap

Deine Ausführungen - sie sind alle richtig - unterscheiden sich jedoch im Endeffekt um nichts von dem vorher gesagten.

Um die Verwirrung nicht noch mehr zu vergrößern (ja, ich hätte auch das mit der Diskriminante vielleicht lieber lassen sollen), setzen wir besser noch von vorhin fort.
Wir waren doch, auch bereits schon nach dem Beitrag von mrdo87 so weit.
Auch dort hat man in einem (Berührungs-)Punkt T(x0; y0) eine allgemeine Tangente gelegt und ist (mit der Tangente) so lange um die Parabel herumgefahren, bis die Tangente genau durch den Punkt (0; 6) gegangen ist.

@stifhif

Der von dir erwähnte Punkt P(u; f(u) ) ist identisch bei uns mit T(x0; y0), wobei y0 = f(x0).
Und dann hatten wir

Zitat:

Original von mYthos
...
Es muss also die Gerade $\begin{eqnarray*} y = -x_0x + 6 \end{eqnarray*}$ mit der Parabel $\begin{eqnarray*} y = 4 - \frac{x^2} 2 \end{eqnarray*}$ gleichgesetzt werden.
Dabei löst man nach x und y auf, indem die beiden Terme für y gleichgesetzt werden.
Dabei ist x = x0 zu setzen und nach x0 aufzulösen.
...

Du kannst das natürlich auch mit deinen Bezeichnern so rechnen.

$\begin{eqnarray*} y = -ux + 6 \end{eqnarray*}$ ist mit $\begin{eqnarray*} y = 4 - \frac{x^2} 2 \end{eqnarray*}$ gleichzusetzen:
[x0 = x = u und y0 = y = f(u)]

$\begin{eqnarray*} -ux + 6 = 4 - \frac{x^2} 2 \end{eqnarray*}$

Da jetzt die Lösung nach x gleich u ist, können wir x = u setzen:

$\begin{eqnarray*} -u^2 + 6 = 4 - \frac{u^2} 2 \end{eqnarray*}$

Diese quadratische Gleichung hat zwei Lösungen, daher ist auch der Einwand von Dopap erledigt.
Kannst du dies nun nachvollziehen?

mY+

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