Integral über Delta-Distribution

14.10.2015, 20:25

mrdo87

Integral über Delta-Distribution

Hallo,

habe folgende Aufgabe:

Berechne: $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2} \! \delta(x^2-1) \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Idee: Es ist bekannt, dass $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2} \! \delta (x-1) \, dx = 1 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} 1 \in [0,2] \end{eqnarray*}$ (sonst wäre es 0)

Doch was verändert das Quadrat?

14.10.2015, 21:51

RavenOnJ

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RE: Integral über Delta-Distribution
Versuch mal die Substitution $\begin{align*} s=x^2-1 \end{align*}$ .

14.10.2015, 22:02

mrdo87

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Hmm, an Substitution hatte ich auch zunächst gedacht, jedoch hatte ich den Ansatz $\begin{eqnarray*} z=x^2 \end{eqnarray*}$ gewählt. Bin damit aber auch nicht wirklich weit gekommen. Würde doch dann mit deinem Ansatz wie folgt aussehen?!

$\begin{eqnarray*} \int _{-1} ^{3} \! \frac {\delta(s)}{2s} ds \end{eqnarray*}$

14.10.2015, 22:45

RavenOnJ

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Zitat:

Original von mrdo87

$\begin{eqnarray*} \int _{-1} ^{3} \! \frac {\delta(s)}{2s} ds \end{eqnarray*}$

Die Integrationsgrenzen sind richtig, der Integrand nicht.

14.10.2015, 22:56

mrdo87

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Ich habe mich auch etwas vertippt:

$\begin{eqnarray*} \int _{-1}^{3} \! \frac{\delta (s)}{2x} ds \end{eqnarray*}$

Habe grade eine Idee, wie es weiter gehen könnte:

$\begin{eqnarray*} \int _{-1}^{3} \! \frac{\delta (s)}{2x} ds = \int _{-1}^{3} \! \frac{\delta (s)}{2\cdot \sqrt{s+1}} ds=\frac {1}{2 \cdot \sqrt{0+1}}=0,5 \end{eqnarray*}$

passt das so?

15.10.2015, 19:26

Guppi12

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Scheint mir die richtige Lösung zu sein.

Da die Frage aus dem Themenstart nun geklärt ist, eine Frage von mir:

Ich habe jetzt eine Weile überlegt, wie man da mathematisch (d.h. mit der exakten Definition von Distributionen und allem, was dazu gehört) Sinn reinbringen kann, ich sehe es aber nicht. Mag mich jemand aufklären?

1. Was bitte soll das der Operator $\begin{eqnarray*} \int_0^2 dx \end{eqnarray*}$ mit einer Distribution machen? Schließlich ist $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty u(x)\phi(x) dx \end{eqnarray*}$ nur eine andere Schreibweise für das Anwenden der Distribution $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ auf die Funktion $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ . Das ist ja nicht wirklich ein Integral, falls $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ keine Funktion ist. Ich dachte zuerst, dass man die Distribution vielleicht zuerst mit der charakteristischen Funktion von $\begin{eqnarray*} [0,2] \end{eqnarray*}$ multipliziert. Das geht aber nicht, weil das keine glatte Funktion ist.

2. Wie ist die Verknüpfung einer Distribution mit einer Funktion definiert, die kein Diffeomorphismus ist?

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