Supremumsnorm einer Funktionenfolge bilden

15.10.2015, 13:07

Light98

Supremumsnorm einer Funktionenfolge bilden

$\begin{eqnarray*} f_n (x) = x^n * e^{-n*x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||f_n(x)||_{\infty} = sup |f_n (x) | \end{eqnarray*}$

Kann ich dann einfach $\begin{eqnarray*} f_n (x) \end{eqnarray*}$ ableiten, das Maximum bestimmen und das Ergebnis wäre die Supremumsnorm?

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Und noch eine Frage zum selben Beispiel: Ich soll herausfinden, ob die Funktionenreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} f_n \end{eqnarray*}$ gleichmäßig konvergent ist. Reicht es, wenn ich das x fest lasse und zeige, dass die Reihe so absolut konvergent ist?

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$\begin{eqnarray*} f_n : D= [0, + \infty ) \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

3 Beiträge zusammengefügt, damit Antwortenzähler wieder auf 0 steht. (Guppi12)

15.10.2015, 22:09

Light98

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Gut, die zweite Frage hat sich schon geklärt.

Ich bin mir aber immer noch nicht sicher, ob ich die Supremumsnorm richtig bestimmt habe.

15.10.2015, 22:30

bijektion

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Zitat:

Ich bin mir aber immer noch nicht sicher, ob ich die Supremumsnorm richtig bestimmt habe.

Erstmal ist die Bezeichnung der Supremumsnorm $\begin{eqnarray*} ||f_n||_\infty=\sup_{x\in D}|f_n(x)| \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Kann ich dann einfach $\begin{eqnarray*} f_n (x) \end{eqnarray*}$ ableiten, das Maximum bestimmen und das Ergebnis wäre die Supremumsnorm?

Falls die $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ differenzierbar sind, was in diesem Spezialfall zutrifft.

Zitat:

Ich soll herausfinden, ob die Funktionenreihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} f_n \end{eqnarray*}$ gleichmäßig konvergent ist. Reicht es, wenn ich das x fest lasse und zeige, dass die Reihe so absolut konvergent ist?

Hier wirst du vermutlich das Ergebnis des ersten Teils nutzen können.

19.11.2015, 16:23

Light98

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Ich habe das Beispiel jetzt nochmals versucht und ich schaffe es nicht mehr, die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} f_n \end{eqnarray*}$ zu untersuchen. Wie kann ich das Ergebnis des ersten Teils nutzen?

$\begin{eqnarray*} ||f_n (x) ||_{\infty} = 1 \end{eqnarray*}$

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