Real und Imaginärteil von komplexen Zahlen

15.10.2015, 15:35

Drees

Real und Imaginärteil von komplexen Zahlen

Meine Frage:
Es werden die komplexen Zahlen $\begin{eqnarray*} Z1 = 2i -\sqrt{2}e^{\frac{3}{4} *\pi*i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z2 = i(i²+\sqrt{3}i³) \end{eqnarray*}$ gegeben.
Berechnen sie Real und Imaginärteil von Z1 und Z2.

Z2 konnte ich mir leicht ermitteln nur z1 habe ich leider keinen ansatz

Meine Ideen:
Hallo liebes matheboard,

ich habe diese Woche angefangen Informatik zu studieren und sitze jetzt momentan an Lineare algebra und versuche einige übungsaufgaben zu lösen.
Da ich bisher ein Wirtschaftsgymnasium besucht habe fällt mir die mathematik sehr schwer und ich blicke momentan durch die aufgaben gar nicht durch breuchte also Hilfe um diese zu lösen. Ehrlich gesagt bin ich grad ziemlich am verzweifeln da ich grade nichteinmal einen anfang zu der aufgabe finde.

Die Lösung habe ich mit wolframalpha ermitteln lassen.
$\begin{eqnarray*} z1 = 1+i \end{eqnarray*}$

Ist diese Lösung richtig?
$\begin{eqnarray*} z2 = \sqrt{3} - i \end{eqnarray*}$
Bei z2 habe ich $\begin{eqnarray*} i³ \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} -i \end{eqnarray*}$ ersetzt und einfach ausmultiplizeirt.

Vielen Dank schonmal im vorraus smile

ps. falls jemand bücher hat die grundwissen in mathematik vermittel sprich bücher die versäumtes schulwissen im hinblick aufs studium ausbessern wäre ich sehr dankbar für hinweise smile

15.10.2015, 15:47

klarsoweit

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RE: Real und Imaginärteil von komplexen Zahlen
Z2 ist richtig. Für Z1 brauchst du die Polarform: $\begin{eqnarray*} e^{i\phi} = cos(\phi) + i \cdot sin(\phi) \end{eqnarray*}$

Siehe auch: https://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahlen#Polarform

15.10.2015, 15:51

Steffen Bühler

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RE: Real und Imaginärteil von komplexen Zahlen
... und nicht zu vergessen: unser Workshop.

Viele Grüße
Steffen

15.10.2015, 18:05

Drees

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Danke für den Hinweis ich habe jetzt die Eulersche Formel angewendet und habe festgestelt das $\begin{eqnarray*} e^{\frac{3}{4} *\pi*i}= cos(\frac{3}{4} *\pi )+i*sin(\frac{3}{4}*\pi) = -\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ ist.
Daraus habe ich dann die Form $\begin{eqnarray*} z_{1} = 2i-\sqrt{2}*(-\frac{1}{4}) \end{eqnarray*}$ eingesetzt.

Ergebnis war dann:
$\begin{eqnarray*} z_{1}=2i - \frac{\sqrt{2} }{4} \end{eqnarray*}$

Ist die lösung richtig das erscheint mir irgendwie eine zu krumme zahl um richtig zu sein Big Laugh

15.10.2015, 18:09

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Drees
$\begin{eqnarray*} e^{\frac{3}{4} *\pi*i}= cos(\frac{3}{4} *\pi )+i*sin(\frac{3}{4}*\pi) = -\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Wie das? Dann müsste doch $\begin{align*} \cos \left(\frac 34 \pi \right)=- \frac 14 \end{align*}$ sein und $\begin{align*} \sin \left(\frac 34 \pi \right)=0 \end{align*}$ . Beides ist nicht der Fall.

Wie hast Du da gerechnet?

15.10.2015, 18:24

Drees

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Argh ich hab meinen Fehler gesehen ja ich hab totalen murcks gerechnet.

Ich habe $\begin{eqnarray*} e^{(\frac{3}{4} \pi *i)} \end{eqnarray*}$ und mir zu nutze gemacht das sich $\begin{eqnarray*} e^{\pi*i} \end{eqnarray*}$ zu -1 umformen lässt. Was dann zu $\begin{eqnarray*} z_{1} = 2i -\sqrt{2} *(-1)^{\frac{3}{4} } \end{eqnarray*}$ führte.

Das mit dem sin und cos war murcks.

Ist das der richtige weg oder übersehe ich da was?

15.10.2015, 18:36

Drees

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So gerechnet komme ich auf das Ergebnis $\begin{eqnarray*} z_{2}= 1+i \end{eqnarray*}$ .

15.10.2015, 21:21

Steffen Bühler

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Das stimmt, aber mit sin und cos wärst Du auch darauf gekommen. Versuch es ruhig mal, die Polarform sollte schon sitzen.

15.10.2015, 21:52

Drees

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In der Polarform habe ich das nochmal nachgerechnet und bin für den Term auf die Polarform die ich schon geschrieben habe gekommen ausgerechnet bin ich dann auf $\begin{eqnarray*} cos(\frac{3}{4}*\pi )+i*sin(\frac{3}{4}*\pi ) \end{eqnarray*}$ ausgerechnet und umgeformt auf $\begin{eqnarray*} \frac{-1-i}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$ gekommen.

Das ganze dann mit den restlichen Termen umgestellt und bin aufs gleiche Ergebnis gekommen.

Mir fällt es besonders schwer einfache Formeln umzustellen irgendwelche tipps wie ich das verbessern kann?

15.10.2015, 22:05

Steffen Bühler

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Zumindest bei dieser Aufgabe ist es immer sinnvoll, sich die Zahl in der komplexen Ebene vorzustellen.

Der Betrag ist Eins, der Winkel 135 Grad, also "halb elf". Die Winkelhalbierende im zweiten Quadranten. Siehst Du das?

Und siehst Du dann auch, dass der Realteil dann $\begin{eqnarray*} -\frac 1{\sqrt 2} \end{eqnarray*}$ und der Imaginärteil $\begin{eqnarray*} \frac 1{\sqrt 2} \end{eqnarray*}$ (positiv, nicht negativ!) sein muss?

15.10.2015, 22:29

Drees

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Ja das habe ich gesehen? Ich verstehe deine Anmerkung leider nicht ganz.

Das ist ja das gleiche was ich in meinem letzten beitrag geschrieben habe oder sehe ich das falsch nur das ich die beiden Terme schon in einem Bruch zusammengefastt hatte.

Ich wollte mich aber trotzdem für deine Hilfe bedanken hat mir wirklich sehr weiter geholfen die materie auch zu verstehen smile

16.10.2015, 08:47

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Drees
Ich verstehe deine Anmerkung leider nicht ganz.

Damit meinte ich, dass es hier eigentlich gar nicht nötig ist,

Zitat:

einfache Formeln umzustellen

Denn man "sieht" so, dass $\begin{align*} \sqrt 2 \cdot e^{\frac 34 \pi i} = -1+i \end{align*}$ .

Und das wird dann einfach von 2i abgezogen. Kann man also alles im Kopf. Und das spart gewaltig Zeit, besonders in der Klausur.

Viele Grüße
Steffen

16.10.2015, 09:17

klarsoweit

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Zitat:

Original von Drees
In der Polarform habe ich das nochmal nachgerechnet und bin für den Term auf die Polarform die ich schon geschrieben habe gekommen ausgerechnet bin ich dann auf $\begin{eqnarray*} cos(\frac{3}{4}*\pi )+i*sin(\frac{3}{4}*\pi ) \end{eqnarray*}$ ausgerechnet und umgeformt auf $\begin{eqnarray*} \frac{-1-i}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$ gekommen.

Ich hoffe, daß mit den Beiträgen von Steffen Bühler angekommen ist, daß obiges falsch ist.

16.10.2015, 19:28

Drees

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Ich merke ich habe bei solchen aufgaben immer probleme bestimmte geometrische Formen zu sehen so ist mir grade aufgefallen wie sich der betrag gebildet hat.
Mir war nicht mehr bewusst, dass $\begin{eqnarray*} \sin(x)²+ \cos(x)² = 1 \end{eqnarray*}$ ist unglücklich

(Schule ist leider schon ein bisschen her)

Auch habe ich gemerkt das ich solche aufgaben wie du es gemacht hast unterteilen muss und mir die teile einzeln anschauen muss smile

Danke für die Klasse hilfe und inzwischen habe ich richtig feuer gefangen für die komplexen zahlen und hoffe das ich in zukunft da auch mehr hin bekomme Freude

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