Punktabstand zu Ebene ohne Taschenrechner

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Monstreon Auf diesen Beitrag antworten »
Punktabstand zu Ebene ohne Taschenrechner
Meine Frage:
Gegeben sind der Punkt P(5|-4|3) und die Ebene E: 2x1 - 2x2 + x3 = 0.
a) Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P zur Ebene E.
b) Bestimmen sie drei weitere Punkte, die den gleichen Abstand von E haben.


Den Teil a) kann ich zwar lösen, aber ich weiß nicht ob ich einen schwierigeren Weg gewählt habe, da ich mit Wurzel von Brüchen wie (14/3) rechnen muss, was sonst für einen Wahlteil ohne Taschenrechner eigentlich undenkbar war. Für mich wäre diese Aufgabe so ohne Taschenrechner unlößbar.

Kann mir jemand einen leichteren Weg nennen, oder muss ich sowas im Wahlteil wirklich ausrechnen können?

Zu b) fällt mir spontan gar nichts ein. Es wäre sehr nett, wenn mir hier jemand einen Hinweis geben könnte.

Ich bedanke mich schonmal für jede Antwort smile


Meine Ideen:
a) Ich hab eine Gerade mit Punkt P als Stützvektor und dem Normalenvektor als Richtungsvektor aufgestellt, und diese dann in die Ebenengleichung eingesetzt, wofür ich den Parameter r = (22/9) rausbekomme. Damit habe ich dann den Lotfußpunkt F berechnet, dann den Vektor PF berechnet und schließlich die Länge des Vektors ausgerechnet und komme auf 7 LE.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

a) geht wesentlicher einfacher mit der HNF der Ebene : Wegen (was man im Kopf ausrechnen kann Augenzwinkern ) lautet diese hier .

Punkt P(5|-4|3) hat dann von den Abstand .


b) Laut a) muss denselben Wert wie für Punkt P aufweisen, damit wir bei Abstand 7 und auf derselben Seite der Ebene bleiben. Das erreichen wir z.B. dadurch, dass wir und im Gleichschritt inkrementieren, also

(6|-3|3)
(7|-2|3)
(8|-1|3)
...

Aber es gibt noch viele andere Möglichkeiten - die hier ist nur vielleicht eine der bequemeren.
Monstreon Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort, HAL 9000!
Ich denke, dass du in dem Kontext die Hessesche Normalform meinst. Die haben wir noch nicht behandelt. Den einzigen Weg, den wir gelernt haben den Abstand zwischen Punkt und Ebene zu berechnen ist der, den ich beschrieben hab.

Kannst du mir vielleicht auch mit b) weiterhelfen? smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Hessesche Normalform. Und meine Antwort zu b) basiert auch darauf - tja, Pech.
Monstreon Auf diesen Beitrag antworten »

Trotzdem vielen Dank smile
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Kann mir jemand einen leichteren Weg nennen, oder muss ich sowas im Wahlteil wirklich ausrechnen können?


Zitat:
Den einzigen Weg, den wir gelernt haben den Abstand zwischen Punkt und Ebene zu berechnen ist der, den ich beschrieben hab.


Warum fragst du dann eigentlich nach einem leichteren Weg, wenn du ihn eh ablehnst, weil nur der eine Weg behandelt wurde ? verwirrt
 
 
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