Relationen in Algebra

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sascha_alg Auf diesen Beitrag antworten »
Relationen in Algebra
Hey,

angenommen und .
Dann wäre . R ist doch dann die sog. Relation, also entweder =, <, <=, >, >=... .

Wie finde ich jetzt genau heraus, was für welche Eigenschaften die Relation "=" hat? Muss ich da dann in die Teilmenge von AxA schauen? Oder was wird da nun genau in die Teilmenge "R" bzw. "=" (wie man sie halt nennt) hineingeworfen, wenn es eine "Gleichheits-Relation", was ja dieses Gleichzeichen bedeutet.
Also welche von den oben gelisteten Paaren?

Gruß
sascha

Korrektur aus zweitem Beitrag übernommen, diesen gelöscht. Steffen
Sascha_alg Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann hier ein Bsp:

. Dann wäre .



wäre dann symmetrisch und reflexiv. Wenn ich nun noch (b,c) und (c,b) drinnen hätte, dann wäre sie auch transitiv, richtig? Und somit hätte man die Äquivalenzrelationen . Noch immer richtig?

kgV: Latex-Klammern gesetzt
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sascha_alg
Okay, dann hier ein Bsp:

. Dann wäre .





wäre dann symmetrisch und reflexiv. Wenn ich nun noch (b,c) und (c,b) drinnen hätte, dann wäre sie auch transitiv, richtig? Und somit hätte man die Äquivalenzrelationen . Noch immer richtig?


das Mengenproduktzeichen ist "\times"
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Zum fachlichen Inhalt der Frage: ja, deine Relation ist reflexiv und symmetrisch, mit den Paaren und ist sie dann auch transitiv Freude In diesem Fall gilt dann auch

Lg
kgV
Wink
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Sehr gut, danke! (Bin nun angemeldet smile )

Dann wäre transitiv und symmetrisch:


Und transitiv und reflexiv:

Beide Richtig?

Was wären dann alle möglichrn Äquivalenzrelationen auf AA und die dazu gehörigen Äquivalenzklassen?

Eine Äquivalenzrelation ist doch symmetrisch, transitiv und reflexiv. Also wäre das in meinem Fall einfach R=AxA, oder?

In Äquivalenzklassen sind doch ähnliche Objekte zusammengefasst z.b., wenn M die Menge von versch. Quadraten und rechtecken. (Unterscheiden sich in farbe und Höhe)

Eine Äquivalenzklasse umfasst nun all Quadrate mit selber Höhe, aber können unterschiedliche Farben haben.

Aber wie beziehe ich das auf mein Beispiel mit der Menge A. Die Elemente a,b, und c haben ja keine konkrete Eigenschaft, oder?
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Erste Relation passt, die zweite Relation ist aber nicht reflexiv, da fehlt das Paar . Transitiv ist sie dagegen wieder

In Summe gibt es 5 verschiedene Äquivalenzrelationen auf einer 3-elementigen Menge (die dritte Bellsche Zahl, falls dir der Begriff etwas sagt)

R=AxA ist eine Äquivalenzrelation, aber es gibt noch 4 andere, z.B.

Ja, Quadrate/Rechtecke wären ein beispiel für Äquivalenzklassen. Allgemeiner ist die Äquivalenzklasse von, meinetwegen die Menge aller Elemente von , mit denen in Relation steht, also alle Elemente für die gilt, dass (damit ist dann auch , weil als Äquivalenzrelation symmetrisch ist.
Übertragen auf die Rechtecke müsste die Relationsbedingung dann lauten "Quadrat A steht in Relation zu Quadrat B, wenn sie dieselbe Höhe haben"

Zum Beispiel hat nur eine Äquivalenzklasse, weil alle Paare in R sind, meine Relation R oben hat dagegen die drei Äquivalenzklassen

edit: bin jetzt weg, komme erst gegen Abend wieder zurück
 
 
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D.h. also, dass ~ = {(a,a), (b,b), (c,c)} eine Äquivalenzrelationen ist und diese müsste reflexiv, symmetrisch und transitiv sein.
Ich erkenne hier aber nur Reflexivität. Warum is das eine Äquivalenzrelationen?
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, es ist ~ eine Äquivalenzrelation, wenn sie keine der Bedingungen reflexiv, transitiv und symmetrisch verletzt (dann sind sie nämlich automatisch erfüllt).

Versuch mal, ein Paar zu finden, das die Bedingung der Symmetrie nicht erfüllt Augenzwinkern Du wirst keines finden.

Der Trick an der Sache ist nämlich der, dass eine Bedingung dann erfüllt ist, wenn es nichts gibt, das ihr widerspricht. Und deswegen ist ~ eine Äquivalenzrelation smile

edit: so langsam solltest du dich aber wirklich entscheiden, ob du deine Hilfe zum Thema hier oder drüben auf onlinemathe haben willst. In beiden Foren dieselben Fragen zu stellen verschwendet zumindest entweder meine Zeit oder die von Roman-22 drüben. Lass mich einfach wissen, wo du weitermachen willst
Abstract Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, sorry, ich wollte einfach so schnell wie möglich Hilfe, aber ich verstehe es, dass es keinen Sinn hat, wenn zwei Personen gleichzeitig einen "Fall" bearbeiten. Tut mir leid, bitte schließe hier einfach den Thread und ich werde bei meiner nächsten Frage hier, nur hier Posten, also kein "Cross-Posting" betrieben.
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar smile Danke für das Verständnis
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