Induktionsbeweis mit Indexverschiebung

15.10.2015, 19:21	TI30XS	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktionsbeweis mit Indexverschiebung Meine Frage: Ich soll mit vollständiger Induktion folgende Aussage beweisen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k} = \sum\limits_{k=1}^{2n-1} \frac{(-1)^{k+1} }{k} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Mein Ansatz war es das ganze mit einer Indexverschiebung zu lösen, bin aber gescheitert! Ich bin sehr dankbar wenn mir da war helfen kann! Liebe Grüße Franz
15.10.2015, 19:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktionsbeweis mit Indexverschiebung Indexverschiebung ist unnötig. Es ist nur genau zu analysieren, was beim Übergang $\begin{align} n\to n+1 \end{align}$ passiert: Auf beiden Seiten kommen zwei neue Summanden hinzu, und links fällt aber auch noch ein Summand weg. D.h., links gilt $\begin{align} \sum_{k=n+1}^{2(n+1)-1} \frac{1}{k} = \sum_{k=n+1}^{2n+1} \frac{1}{k} = \sum_{k=n+1}^{2n-1} \frac{1}{k} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n+1} = \sum_{k=n}^{2n-1} \frac{1}{k} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{n} \end{align}$

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