Eindimensionale Poincaré-Ungleichung

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daLoisl Auf diesen Beitrag antworten »
Eindimensionale Poincaré-Ungleichung
Guten Tag,

ich soll folgendes zeigen:
Es existiert eine Konstante , sodass gilt:

wobei

Ich dachte, ich zeige es zuerst für und schließe den Rest mit einem Dichtheitsargument.
Mein Ansatz wäre so gewesen:
Sei . Dann gilt:


Aber das bringt irgendwie nichts.

Kann mir da jemand helfen?

Danke und liebe Grüße
daLoisl
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eindimensionale Poincaré-Ungleichung
Betrachte lieber . Der Anfang sieht gut aus. Danach kann man einfach stur abschätzen, z.B. damit: es ist .
daLoisl Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Tipp. Damit erhalte ich:
für jedes und damit:


Wenn ich für wählen würde, wäre dass schon fast das Gesuchte. Allerdings funktioniert dann die noch benötigte Abschätzung nicht, da ich mit Cauchy-Schwarz genau die entgegengesetzte Richtung bekomme.
Habe ich schon oben zu viel hergeschenkt?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Keineswegs. Was ist denn ?
daLoisl Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn x von y unabhängig wäre, dann wäre
.
Aber x muss immer kleiner sein als y und ich kann für jedes y ein anderes x wählen, daher ist diese Frage nicht eindeutig zu beantworten, oder doch?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt für alle x, falls man die Konvention benutzt. Alternativ kann man auch das "hässliche" benutzen (ist genau das gleiche.)

Die Einschränkung, dass ist also überflüssig.
 
 
daLoisl Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, und wegen des Mittelwertsatzes der Integralrechnung kann ich so wählen, dass , woraus sofort das Gewünschte folgt.

Herzlichen Dank für die Hilfe!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte einfach beide Seiten noch einmal nach x integriert Augenzwinkern
daLoisl Auf diesen Beitrag antworten »

Damit ist die Ungleichung ja erst für stetig differenzierbare Funktionen gezeigt. Ich dachte zuerst, die Verallgemeinerung auf Funktionen aus dem Sobolevraum kann nicht so schwierig sein, aber nun stehe ich doch wieder an...

Sei und so, dass . Dann gilt insbesondere und in .
Da die Norm immer stetig ist, erhalte ich:


Jetzt müsste ich den Grenzwert noch in das letzte Integral hineinziehen können und wäre fertig. Aber leider sehe ich keinen Grund, warum das funktionieren sollte.
Wie geht es jetzt weiter?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst ja nur zeigen, dass . Nach Definition muss also gelten . Nachdem man die Integrale zusammengezogen hat, kann man z.B. Höldern, Cauchy-Schwarz anwenden oder Jensen-Ungleichung benutzen, um das gegen die nach oben abzuschätzen.
daLoisl Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, jetzt schäme ich mich fast ein wenig dafür, nicht selbst draufgekommen zu sein. Hammer
Permanent wird mit diversen Integralsätzen herumgeworfen und auf die Definition des Limes vergesse ich...

Vielen lieben Dank für die großartige Hilfe!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne. Wink
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