Konvergenzradius

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16.10.2015, 10:58	NoWay49	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty} n! ( \frac{z^n}{n^n} )^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{lim sup_{n \to \infty} ( n! * ( \frac{z^n}{n^n} )^n )^{\frac{1}{n}} } = \frac{1}{lim sup_{n \to \infty} ( (n!)^{\frac{1}{n}} * ( \frac{z^n}{n^n} )) } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n^n \geq (n!)^{\frac{1}{n}} \Rightarrow lim sup_{n \to \infty} ( (n!)^{\frac{1}{n}} * ( \frac{z^n}{n^n} )) = 0 \Rightarrow \frac{1}{lim sup_{n \to \infty} ( n! * ( \frac{z^n}{n^n} )^n )^{\frac{1}{n}} } = + \infty \end{eqnarray*}$ Ist das richtig?
13.11.2015, 18:50	NoWay49	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe jetzt erfahren, dass man es so nicht machen darf, weil es keine Potenzreihe ist. Also, erneuter Versuch (diesmal mit dem Quotientenkriterium): $\begin{eqnarray} \frac{ (n+1)! ( \frac{z^{n+1}}{(n+1)^{(n+1)}})^{n+1} }{ n! {( \frac{z^n}{n^n})}^n } = \frac{ z^{n+1}}{(n+1)^n} * ( z * \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}})^n \end{eqnarray*}$ Wie kann ich da weitermachen?
13.11.2015, 19:30	001	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist schon eine Potenzreihe: $\begin{eqnarray} \sum\frac{n!}{n^{n^2}}x^{n^2} \end{eqnarray}$ . Es kommen nur die Potenzen $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x^4 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x^9 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x^{16} \end{eqnarray}$ , etc. vor. Alle anderen Koeffizienten sind null. Damit scheidet das Quotientenkriterium aus und fuer das Wurzelkriterium musst Du die richtige Wurzel ziehen.
13.11.2015, 19:37	NoWay49	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Wäre das dann die $\begin{eqnarray} n^2 \end{eqnarray}$ -te Wurzel?
13.11.2015, 19:56	001	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Potenz von x hinter dem Koeffizienten sagt, welche Wurzel Du ziehen sollst. Und fehlende Glieder/Koeffizienten tragen ja zum lim sup \|...\| nur null bei. Also: $\begin{eqnarray} \frac{1}{r}=\limsup\frac{\sqrt[n^2]{n!}}{n} \end{eqnarray}$
13.11.2015, 21:11	NoWay49	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Und wie kann ich $\begin{eqnarray} \limsup\frac{\sqrt[n^2]{n!}}{n} \end{eqnarray}$ berechnen?
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13.11.2015, 21:22	001	Auf diesen Beitrag antworten »
Leite aus der offensichtlichen Ungleichung $\begin{align} n!<n^n \end{align}$ die Beschraenktheit von $\begin{align} \sqrt[n^2]{n!} \end{align}$ her.
13.11.2015, 22:52	NoWay49	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Kann ich dann also gleich sagen, dass $\begin{eqnarray} \sqrt[n^2]{n!} < \sqrt[n]{n} \to 1 \Rightarrow \limsup \frac{\sqrt[n^2]{n!}}{n} = \frac{1}{n} \to 0 \Rightarrow r= + \infty \end{eqnarray}$ ?
14.11.2015, 01:57	001	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig ist das im Prinzip schon. Aber den Teil mit dem lim sup kannst Du so nicht schreiben. Wenn Du den Grenzuebergang $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ durchgefuehrt hast, kann im Ergebnis kein $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ mehr auftauchen.
14.11.2015, 11:25	NoWay49	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre der lim sup aber dann nicht bei n=1 und somit $\begin{eqnarray} \limsup \frac{\sqrt[n^2]{n!}}{n} = 1 \end{eqnarray}$ ?
14.11.2015, 18:28	001	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kann der Wert bei $\begin{eqnarray} n=1 \end{eqnarray}$ irgendwas bedeuten, wenn ich $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ gehen lasse? Schlag nach, was $\begin{eqnarray} \limsup \end{eqnarray}$ bedeutet, und welcher Zusammenhang besteht, wenn der (gewoehnliche) Limes existiert.
14.11.2015, 20:47	NoWay49	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt versteh ichs. Danke!

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