Konvergenzradius bestimmen

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16.10.2015, 12:42	NoWay49	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius bestimmen $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{e^{4^n} -1}{n!} z^{2n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty} \| (-1)^n \frac{e^{4^n} -1}{n!} z^{2n} \| = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\|e^{4^n} -1\|}{n!} z^{2n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{lim sup_{n \to \infty} \frac{ \sqrt[n]{e^{4^n} -1}}{ \sqrt[n]{n!} }} \end{eqnarray*}$ Wie kann ich weitermachen?
16.10.2015, 12:50	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius bestimmen Ich würde eher die Formel $\begin{eqnarray} R = \lim_{n \to \infty} \|\frac{a_n}{a_{n+1}}\| \end{eqnarray}$ bevorzugen.
16.10.2015, 12:55	NoWay49	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Ich weiß aber nicht, ob wir das dürfen, in der Vorlesung hatten wir nur die Formel $\begin{eqnarray} \frac{1}{lim sup_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \| a_n \| }} \end{eqnarray}$
16.10.2015, 13:27	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja, das kann ich dir natürlich auch nicht sagen. Alternativ käme noch das allgemeine Quotientenkriterium für Reihen in Frage.
16.10.2015, 13:40	NoWay49	Auf diesen Beitrag antworten »
Gibt es dann keinen Weg, um $\begin{eqnarray} \frac{1}{lim sup_{n \to \infty} \frac{ \sqrt[n]{e^{4^n} -1}}{ \sqrt[n]{n!} }} \end{eqnarray}$ aufzulösen?
16.10.2015, 13:45	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Was heißt schon "auflösen"? Man kann mit dem Holzhammer abschätzend erkennen, dass $\begin{align} \sqrt[n]{\frac{e^{4^n}-1}{n!}} \end{align}$ für $\begin{align} n\to\infty \end{align}$ unbeschränkt wächst.
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11.11.2015, 17:36	NoWay49	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs jetzt doch auch mit dem Quotientenkriterium versucht: $\begin{eqnarray} \frac{ \frac{(e^{4^{n+1}} -1)z^{2n+2}}{(n+1)!}}{\frac{(e^{4^n} -1)z^{2n}}{n!}} = \frac{(e^{4^{n+1}} -1) z^2}{(e^{4^n}-1)(n+1)} \end{eqnarray}$ Wie kann ich weitermachen?
12.11.2015, 08:30	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Klammere in Zähler und Nenner $\begin{eqnarray} e^{4^n} \end{eqnarray}$ aus und kürze dann.
13.11.2015, 18:19	NoWay49	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Ich schaffs aber trotzdem nicht... $\begin{eqnarray} \frac{ \frac{(e^{4^{n+1}} -1)z^{2n+2}}{(n+1)!}}{\frac{(e^{4^n} -1)z^{2n}}{n!}} = \frac{(e^{4^{n+1}} -1) z^2}{(e^{4^n}-1)(n+1)} = \frac{\|e^4 -\frac{1}{e^{4^n}}\|}{\|(1- \frac{1}{e^{4^n}}(n+1)\|} \|z\|^2 \end{eqnarray*}$
14.11.2015, 11:22	NoWay49	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{ \frac{(e^{4^{n+1}} -1)z^{2n+2}}{(n+1)!}}{\frac{(e^{4^n} -1)z^{2n}}{n!}} = \frac{(e^{4^{n+1}} -1) z^2}{(e^{4^n}-1)(n+1)} = \frac{\|e^4 -\frac{1}{e^{4^n}}\|}{\|(1- \frac{1}{e^{4^n}})(n+1)\|} \|z\|^2 = \frac{\|e^4 -\frac{1}{e^{4^n}}\|}{\|1- \frac{1}{e^{4^n}}\|} \|z\|^2 \frac{1}{n+1} \to e^4 * \|z\|^2 * 0 = 0 \end{eqnarray*}$
14.11.2015, 21:22	NoWay49	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist es so richtig?
16.11.2015, 09:30	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Fehler liegt in mangelhafter Beachtung der Potenzregeln: $\begin{eqnarray} \frac{e^{4^{n+1}}}{e^{4^n}} = e^{4^{n+1} - 4^n} = ... \end{eqnarray}$ Wie man leicht nachrechnet, ist $\begin{eqnarray} 4^{n+1} - 4^n \neq 4 \end{eqnarray}$ .
18.11.2015, 01:56	NoWay49	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh. Ja, du hast natürlich Recht, war ein Fehler. Aber im dem Falle komme beim Vereinfachen wirklich nicht weiter...
18.11.2015, 08:28	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich war immer schon dafür, solche Aufgaben mal im Abitur zu stellen. Es gilt: $\begin{eqnarray} 4^{n+1} - 4^n = 4 \cdot 4^n - 4^n = 3 \cdot 4^n \end{eqnarray}$
18.11.2015, 14:05	NoWay49	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{ (e^{4^{n+1}} -1 ) z^2}{ ( e^{4^n} -1) * (n+1)} = \frac{ e^{4^n} * ( e^{3{4^n}} - \frac{1}{e^{4^n}} ) }{e^{4^n} (1- \frac{1}{e^{4^n}} ) } * \frac{z^2}{n+1} \to 0 \end{eqnarray*}$
18.11.2015, 14:28	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Blöd ist nur, daß $\begin{eqnarray} e^{3 \cdot 4^n} \end{eqnarray}$ rasend schnell gegen unendlich geht, was durch das (n+1) im Nenner auch nicht mehr aufgehalten wird.
18.11.2015, 14:41	NoWay49	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh. Na ja, dass wäre der Konvergenzradius $\begin{eqnarray} + \infty \end{eqnarray}$ .
18.11.2015, 14:56	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Etwas genauer gucken solltest du schon. Der Konvergenzradius ist Null.
18.11.2015, 15:52	NoWay49	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ja, stimmt, da das Quotientenkriterium für alle z divergent ergibt. Danke

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