Extrema oder Wendepunkt durch Taylor

16.10.2015, 15:47

Marko20

Extrema oder Wendepunkt durch Taylor

Wenn für eine Funktion f(x) an einer Stelle x=k gilt f'(k)=0, dann kann ich doch so feststellen, ob das ein Extremum oder "nur" eine Wendestelle ist:

Ist f'(k) = f''(k) = ... = f^(n-1)(k) = 0 UND f^n(k) ungleich 0, dann ist k ein Extrempunkt, falls n gerade ist, aber ein Wendepunkt, falls n ungerade ist.

Wie kann ich mir das mit der Taylorformel anschaulich erklären?

Ich habe ja folgende Form des Taylorpolynoms:
$\begin{eqnarray*} f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + ... \end{eqnarray*}$
Wenn nun aber die ersten (n-1) Ableitungen gleich 0 sind, dann bleibt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(k) + \frac{f^n(k)\cdot (x-k)^n}{n!} + ... \end{eqnarray*}$
Richtig soweit?

Ich sehe nun lediglich Folgendes:
1.) Für gerade n wird die "n-te" Potenz positiv bleiben, insofern die n-te Ableitung an der Stelle k positiv ist. Dann müsste die rechte Seite insgesamt positiv sein und der Term mit der "n-ten" Potenz größer als f(k).

2.) Für ungerade n wird die "n-te" Potenz möglicherweise negativ?

verwirrt

16.10.2015, 21:22

Dopap

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RE: Extrema oder Wendepunkt durch Taylor

Zitat:

Original von Marko20
Wenn nun aber die ersten (n-1) Ableitungen gleich 0 sind, dann bleibt:

$\begin{eqnarray*} f(x) = f(k) + \frac{f^n(k)\cdot (x-k)^n}{n!} \color{red} + ... \end{eqnarray*}$
Richtig soweit?

ja, wichtig ist aber das letzte Plus samt Folgepunkten.

Zitat:

Ich sehe nun lediglich Folgendes:
1.) Für gerade n wird die "n-te" Potenz positiv bleiben, insofern die n-te Ableitung an der Stelle k positiv ist. Dann müsste die rechte Seite insgesamt positiv sein und der Term mit der "n-ten" Potenz größer als f(k).

... und bei negativer Ableitung ist f(x) kleiner f(k) in einer Umgebung von k.

Du meinst daraus folgern zu können, dass f(k) ein relatives Minimum [Maximum] ist.

Leider geht die Summe aber noch weiter...

18.10.2015, 12:31

Marko20

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Hallo,

ich habe noch etwas darüber nachgedacht, verstehe aber nicht, wie mir die übrigen Summenglieder weiterhelfen könnten.

Die übrigen Terme der Summe werden ja vermutlich ungleich Null sein?

18.10.2015, 13:32

Dopap

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Zitat:

Original von Marko20
Hallo,

ich habe noch etwas darüber nachgedacht, verstehe aber nicht, wie mir die übrigen Summenglieder weiterhelfen könnten.

das sehe ich auch so.

Zitat:

Die übrigen Terme der Summe werden ja vermutlich ungleich Null sein?

vermutlich.

Das Ganze ist wenig ergiebig und kaum aussagekräftig. Zudem ist eine Taylorentwicklung nicht immer möglich.

für eine beliebige Funktion würde ich eher direkt etwas Konkretes nehmen:

Zitat:

f hat ein relatives Extrema in x0, wenn $\begin{eqnarray*} f'(x_0)= 0 \end{eqnarray*}$ gilt und ein Vorzeichenwechsel vorliegt.

18.10.2015, 14:09

Huggy

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RE: Extrema oder Wendepunkt durch Taylor

Zitat:

Original von Marko20
Wenn für eine Funktion f(x) an einer Stelle x=k gilt f'(k)=0, dann kann ich doch so feststellen, ob das ein Extremum oder "nur" eine Wendestelle ist:

Ist f'(k) = f''(k) = ... = f^(n-1)(k) = 0 UND f^n(k) ungleich 0, dann ist k ein Extrempunkt, falls n gerade ist, aber ein Wendepunkt, falls n ungerade ist.

Wie kann ich mir das mit der Taylorformel anschaulich erklären verwirrt

Das ist einfach. Wenn die Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ um den Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ in eine Taylorreihe entwickelbar ist, dann gilt in einer hinreichend kleinen Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f(x)\approx f(x_0)+f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n \end{eqnarray*}$

Dabei bedeutet $\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ in diesem Zusammenhang, dass die Summe aller vernachlässigten Reihenglieder beliebig klein (betragsmäßig) gegenüber $\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n \end{eqnarray*}$ gemacht werden kann, wenn man nur die Umgebung genügend klein wählt. Insbesondere wird in einer genügend kleinen Umgebung das Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} f(x)-f(x_0) \end{eqnarray*}$ nicht durch die vernachlässigten Reihengleider beeinflusst. Daraus folgt, dass bei geradem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ kein Vorzeichenwechsel vorliegt und bei ungeradem $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ein Vorzeichenwechsel vorliegt.

18.10.2015, 17:44

Marko20

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RE: Extrema oder Wendepunkt durch Taylor

Zitat:

Original von Huggy

Das ist einfach.

Nach deiner Erklärung sehe ich das glücklicherweise auch ein Freude

Vielen Dank!

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