Abzählbarkeit der ganzen Zahlen

16.10.2015, 18:17

Heisenberg93

Abzählbarkeit der ganzen Zahlen

Meine Frage:
Guten Abend zusammen,

ich soll zeigen das die Mengen Z (Z+ bzw Z-) abzählbar sind. Und daraus zeigen das Z abzählbar ist.

Meine Ideen:
Um zu zeigen das eine Menge abzählbar ist, muss deren Mächtigkeit gleich der Mächtigkeit der Natürlichen Zahlen sein.

Die Mächtigkeit beschreibt ja im Prinzip die Anzahl meiner Elemente.

Mein Ansatz war folgender:

|N|= |Z+| --> {n1+n2+n3+....nm} = {z1+z2+z3+....+zy}
|N|= |Z-| --> {n1+n2+n3+....nm} = {-z1-z2-z3+....-zy}

Jetzt weiß ich nicht mehr weiter.

Wie zeige ich das in der einen Menge genau so viele sind wie in der anderen

16.10.2015, 18:31

PhyMaLehrer

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Du mußt jeder Zahl aus Z+ bzw. Z- eineindeutig eine natürliche Zahl zuordnen, d. h. eine Zuordnungsvorschrift angeben, was sehr einfach ist.
Für Z(gesamt) mußt du ein bißchen verschachteln, aber das ist auch nicht sehr schwierig.

16.10.2015, 19:16

DieLösung

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Hallo,

"genau so viele" hat keine Bedeutung, da beide Mengen unendlich viele Elemente enthalten. Du kannst aber zeigen, dass sich jedem Element aus der einen Menge ein Element der anderen Menge zuordnen lässt. Das ist sozusagen die Verallgemeinerung von "genau so viele" für endliche Mengen. Augenzwinkern

16.10.2015, 19:19

DieLösung

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Das bereits von meinem erwähnte Wörtchen eineindeutig ist dabei sehr wichtig - also jedes Element der einen Menge erhält einen festen Partner. Freude

17.10.2015, 10:01

bijektion

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Zitat:

Das bereits von meinem erwähnte Wörtchen eineindeutig ist dabei sehr wichtig - also jedes Element der einen Menge erhält einen festen Partner.

Das braucht man aber nicht unbedingt.

17.10.2015, 15:32

Heisenberg93

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Hallo zusammen und danke für die vielen Antworten.

Also brauche ich eine Zuordnungsvorschrift, hmm okay.

Da würde ich jetzt spontan sagen: Ich ordne jedem Z+ eine gerade Zahl aus N zu und und jedem Z- eine ungerade zahl aus N, würde das gehen?

Dann könnte ich ja auch theoretisch die Primzahlen nehmen, die ebenfalls in N vorkommen und unendlich sind?

So meine Frage ist, wie soll diese Zuordnungsvorschrift Mathematisch ausgedrückt aussehen und wie beweist diese Zuschrift das Z+ oder Z- abzählbar ist?

Gruß

17.10.2015, 15:43

bijektion

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Zitat:

Da würde ich jetzt spontan sagen: Ich ordne jedem Z+ eine gerade Zahl aus N zu und und jedem Z- eine ungerade zahl aus N, würde das gehen?

Ja.

Zitat:

So meine Frage ist, wie soll diese Zuordnungsvorschrift Mathematisch ausgedrückt aussehen und wie beweist diese Zuschrift das Z+ oder Z- abzählbar ist?

Da würde ich eine Vorschrift für $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}\to\mathbb{N}^2 \end{eqnarray*}$ finden um dann damit $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ abzuzählen.

17.10.2015, 15:57

Heisenberg93

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$\begin{eqnarray*} N \Rightarrow N^{2} okay. \end{eqnarray*}$

Sie haben N^{2} genommen, da jede quadrierte ungerade Zahl bzw. gerade Zahl wieder ungerade bzw. gerade wird.

Könnte man das dann so schreiben:

Für alle n Element der Menge N (Natürliche Zahlen) für die gilt 2n, gibt es ein z Element der Menge Z (ganze zahlen)

17.10.2015, 16:02

bijektion

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Zitat:

haben N^{2} genommen, da jede quadrierte ungerade Zahl bzw. gerade Zahl wieder ungerade bzw. gerade wird.

Nein

Ich kenne nur eine Abzählung von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}^2 \end{eqnarray*}$ und damit ist es einfacher Big Laugh

Zitat:

Für alle n Element der Menge N (Natürliche Zahlen) für die gilt 2n, gibt es ein z Element der Menge Z (ganze zahlen)

Klar kann man das.

17.10.2015, 16:19

Heisenberg93

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Wie meinst du das: ich kenne nur eine Abzählung?

Für alle n Element der Menge N (Natürliche Zahlen) für die gilt 2n, gibt es ein z Element der Menge Z (ganze zahlen)

Hätte ich damit gezeigt/bewiesen das Z+ abzählbar ist ?

17.10.2015, 16:21

bijektion

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Ich kenne eine Abzählung, die ich direkt hinschreiben kann.

Zitat:

Hätte ich damit gezeigt/bewiesen das Z+ abzählbar ist ?

Ja.

17.10.2015, 16:37

Heisenberg93

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Ist das so korrekt geschrieben und richtig ?

$\begin{eqnarray*} N \Rightarrow Z+ n,k\in N \forall n | n = 2k, \exists z\in Z+ N \Rightarrow Z- n,k\in N \forall n | n = 2k+1, \exists z\in Z- \end{eqnarray*}$

17.10.2015, 17:00

Heisenberg93

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Korrigiere

$\begin{eqnarray*} N \Rightarrow N^{2} n,k\in N Z+ =\left\{ \forall n | n = 2k, \exists z\in Z+\right\} N \Rightarrow N^{2} n,k\in N Z- =\left\{ \forall n | n = 2k+1, \exists z\in Z-\right\} \end{eqnarray*}$

17.10.2015, 17:17

bijektion

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Das was du schreibst, macht keinen Sinn. Das definiert alles keine Menge.

Ich präsentiere mal 3. Möglichkeiten.

Die erste vorgehen würde so aussehen: Du hast eine Abzählung von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}^2 \end{eqnarray*}$ . Jetzt definierst du $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}^2=\mathbb{N}\times\mathbb{N}\ni (n,m) \mapsto \begin{cases} -n & \text{ falls }m=0 \\ m & \text{ falls }n=0 \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

Die zweite: Es gilt $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist abzählbar (Diagonalargument). Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ abzählbar ist.

Drittens: $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}\ni n \mapsto \begin{cases}\frac{n}{2}, & \textrm{falls } n \textrm{ gerade} \\ -\frac{n-1}{2}, & \textrm{falls } n \textrm{ ungerade} \\ \end{cases} \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

17.10.2015, 17:40

Heisenberg93

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Okay, das sehe ich zum ersten mal das meine Menge so definiert.

$\begin{eqnarray*} \mathbb{N}^2=\mathbb{N}\times\mathbb{N}\ni (n,m) \mapsto \begin{cases} -n & \text{ falls }m=0 \\ m & \text{ falls }n=0 \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Könntest du mir das nochmal näher erklären, am besten besten wenn du einen Zahlenwert einsetzt, verstehe das nicht so ganz.

Und was bedeuted das umgedrehte kleine e (quantor)

17.10.2015, 17:52

bijektion

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Zitat:

Okay, das sehe ich zum ersten mal das meine Menge so definiert.

Das verstehe ich nicht...

Zitat:

Und was bedeuted das umgedrehte kleine e (quantor)

Element von. Das ist einfach genau das gleiche wie $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ nur umgedreht, dann bezieht es sich auf die Menge, die links steht.

Zitat:

Könntest du mir das nochmal näher erklären, am besten besten wenn du einen Zahlenwert einsetzt, verstehe das nicht so ganz.

Okay. Sagen wir $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{N}^2=\mathbb{N}\times\mathbb{N}\ni (n,m) \mapsto \begin{cases} -n & \text{ falls }m=0 \\ m & \text{ falls }n=0 \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt z.B.: $\begin{eqnarray*} f(5,0)=-5, f(0,7)=7, f(5,7)=0, f(1,0)=-1=-f(0,1) \end{eqnarray*}$ .

17.10.2015, 19:25

Heisenberg93

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Danke für das Beispiel jetzt habe ich es verstanden.

Ich habe mich etwas unglücklich ausgedrückt. Ich wollte eigentlich sagen, dass ich zum ersten mal gesehen habe, das man anhand einer Funktionsvorschrift eine andere Menge darstellen kann.

Jetzt verstehe ich noch nicht, warum ich anhand dieses Beispiel bewiesen habe, dass die ganzen Zahlen abzählbar sind?

Kommt es daher, das ich jetzt jede ganze Zahl mithilfe der Natürlichen Zahlen darstellen kann?

17.10.2015, 21:17

DieLösung

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Hallo

.

Vielleicht hast du noch nicht verstanden, was abzählbar bedeutet: Es heißt hier gerade definitionsgemäß, dass jeder natürlichen Zahl ein eindeutiger Partner aus den ganzen Zahlen zugeordnet werden kann. Das wird in Form einer bijektiven Abbildung beschrieben. Z.B. kann man wählen:

0 erhält den Partner 1
-1 erhält den Partner 2
1 erhält den Partner 3
-2 erhält den Partner 4
2 erhält den Partner 5
-3 erhält den Partner 6
3 erhält den Partner 7

usw.

Damit ist gezeigt, dass jeder ganzen Zahl ein eindeutiger Partner aus den natürlichen Zahlen zugeordnet werden kann, Also sind die natürlichen Zahlen abzählbar.

Einfacher ist es etwa bei der Menge {A,B,C}:

A erhält den Partner 1
B erhält den Partner 2
C erhält den Partner 3

Damit ist auch die Menge {A,B,C} (und natürlich auch jede andere endliche Menge) abzählbar.

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