Ungleichung so richtig berechnet?

16.10.2015, 18:28

emanztipS

Ungleichung so richtig berechnet?

Meine Frage:
Hallo,

bei Folgender Aufgabe bin ich mir nicht sicher ob das so stimmt:

Zeigen Sie für alle x Element [0,1[

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} \geq 1+x \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x} \geq 1+x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1\geq (1+x)(1-x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1\geq (1-x+x-x^{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1\geq 1-x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\geq -x^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\leq x^{2} \end{eqnarray*}$

16.10.2015, 18:31

IfindU

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RE: Ungleichung so richtig berechnet?
Richtig. Du musst natürlich beim multiplizieren von $\begin{eqnarray*} 1 - x \end{eqnarray*}$ begründen, warum sich das Ungleichzeichen nicht ändert, ansonsten passt alles.

16.10.2015, 18:40

emanztipS

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Danke,

kannst du mir auch sagen wie ich bei folgender Aufgabe vorgehen muss?

Bestimmen Sie die Lsg.menge für folgende Gleichung

x Element R ohne {-1}

$\begin{eqnarray*} | \frac{3-2x}{1+x} | \leq 4 \end{eqnarray*}$

ich weiss nicht wie ich hier vorgehen muss wegen den Betragsstrichen.

16.10.2015, 18:52

HAL 9000

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Auf alle Fälle kannst du zunächst mit $\begin{align*} |x+1|>0 \end{align*}$ multiplizieren:

$\begin{align*} |3-2x| \leq 4|x+1| \end{align*}$

Anschließend Fallunterscheidung, oder aber so.

16.10.2015, 20:16

emanztipS

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Ich komme damit nicht klar, dass links und rechts Beträge sind.

Wie mache ich da eine Fallunterscheidung.

Ich kenne bzw. hab bisher nur Aufgaben gemacht, bei der auf einer Seite welche waren.

Für den Fall 3-2x<0 komme ich auf

$\begin{eqnarray*} x\leq -\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Aber ka wie ich an den Fall $\begin{eqnarray*} 3-2x\geq 0 \end{eqnarray*}$ rangehe, da kommt nur müll bei mir raus böse

16.10.2015, 20:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von emanztipS
Für den Fall 3-2x<0 komme ich auf

$\begin{eqnarray*} x\leq -\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Und? Was bedeutet es, wenn zugleich $\begin{eqnarray*} 3-2x<0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\leq -\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ gelten muss?

EDIT: Vergiss es, deine Rechnung ist auch in diesem Fall falsch.

16.10.2015, 20:31

emanztipS

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Dass das nicht möglich ist und es somit keine Lösung gibt???

16.10.2015, 20:40

HAL 9000

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Fall $\begin{align*} 3-2x<0 \end{align*}$ heißt umgestellt $\begin{align*} x>\frac{3}{2} \end{align*}$ , in diesem Fall ist $\begin{align*} |3-2x|= -(3-2x)=2x-3 \end{align*}$ . Da für $\begin{align*} x>\frac{3}{2} \end{align*}$ auch automatisch $\begin{align*} x+1>0 \end{align*}$ gilt, kann der andere Betrag auch sofort aufgelöst werden, die zu lösenden Ungleichung lautet hier demnach

$\begin{align*} 2x-3 \leq 4(x+1) \end{align*}$

Dessen Auflösung ergibt aber NICHT dein $\begin{align*} x\leq -\frac{1}{6} \end{align*}$ , also was hast du da denn nur gerechnet? unglücklich

-----------------------------------------------------------------------------

Ich bevorzuge den von mir oben verlinkten Weg ohne unmittelbare Fallunterscheidung. Zunächst wird quadriert, dann weiter umgeformt - alles äquivalente Umformungen:

$\begin{align*} (3-2x)^2 \leq (4x+4)^2 \end{align*}$

$\begin{align*} 0 \leq (4x+4)^2-(3-2x)^2 = (4x+4+(3-2x))(4x+4-(3-2x)) \end{align*}$

$\begin{align*} 0 \leq (2x+7)(6x+1) \end{align*}$ .

Das Produkt rechts ist nun $\begin{align*} \geq 0 \end{align*}$ , wenn $\begin{align*} 2x+7\geq 0~\wedge~6x+1\geq 0 \end{align*}$ oder $\begin{align*} 2x+7\leq 0~\wedge~6x+1\leq 0 \end{align*}$ gilt. Das führt zur Gesamtlösung $\begin{align*} x\geq -\frac{1}{6} \end{align*}$ oder $\begin{align*} x\leq -\frac{7}{2} \end{align*}$ .

16.10.2015, 21:11

emanztipS

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danke für die ausführliche Beschreibung

16.10.2015, 21:48

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$\begin{eqnarray*} |3-2x| \leq 4|x+1| \end{eqnarray*}$

Ich würde die beiden Funktionen erstmal zeichnen
dann erkennt man schon viel

VG

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