Addieren von geschlossenem und offenem Intervall

17.10.2015, 09:44

myrmos

Addieren von geschlossenem und offenem Intervall

Die Angabe ist:
Sei $\begin{eqnarray*} <K,+,*> \end{eqnarray*}$ ein angeordneter Körper. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} [-3, 1] + (-1, 1) \end{eqnarray*}$ ein Intervall ist! Welches? Entsprechend verfahren Sie mit [ $\begin{eqnarray*} 2, 5] + [-2, -1] \end{eqnarray*}$

Meine erste Frage ist: Wie addiere ich ein offenes und ein geschlossenes Intervall. Mir ist klar, wie ich es für zwei geschlossene mache, aber in dem Fall habe ich keine Ahnung.

Meine zweite Frage ist: Wie genau zeige ich dann, dass das Resultat wieder ein Intervall ist?

Vielen Dank im Vorraus für eure Antworten

17.10.2015, 09:59

bijektion

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Zitat:

Wie addiere ich ein offenes und ein geschlossenes Intervall.

Genauso wie zwei abgeschlossene. Du musst dir nur überlegen welche Ränder dazu gehören und welche nicht. Wie habt ihr die Addition definiert?

Zitat:

Wie genau zeige ich dann, dass das Resultat wieder ein Intervall ist?

Was ist denn die Definition eines Intervalls?

17.10.2015, 11:31

myrmos

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Und genau da liegt mein Problem. Wir haben die Addition eines Intervalls nicht definiert.

Zitat:

Was ist denn die Definition eines Intervalls?

$\begin{eqnarray*} [a, b] \end{eqnarray*}$ wäre $\begin{eqnarray*} \{x\in K | a\leq x\leq b\} \end{eqnarray*}$

17.10.2015, 11:46

bijektion

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Ich vermute mal, ihr übertragt die folgende Definition

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} A,B\subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} A+B:=\left\{x+y~|~x\in A \text{ und } y\in B\right\} \end{eqnarray*}$ .

auf Intervalle $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ . Ein Intervall $\begin{eqnarray*} I\subseteq\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ zeichnet aus, dass mit $\begin{eqnarray*} x,y\in I \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x<y \end{eqnarray*}$ auch jedes $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x<z<y \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ liegt.

17.10.2015, 18:22

myrmos

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Also, wenn ich zwei Intervalle $\begin{eqnarray*} [a, b] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [c, d] \end{eqnarray*}$ haben kann ich sie so schreiben: $\begin{eqnarray*} a\leq x\leq b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c\leq y\leq d \end{eqnarray*}$ was ich wieder umschreiben kann zu $\begin{eqnarray*} (a+c)\leq (x+y)\leq (b+d) \end{eqnarray*}$ nur wie beweise ich, dass das wieder ein Intervall ist?

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