Teilbarkeit durch 6 Beweis

17.10.2015, 10:08

lule

Teilbarkeit durch 6 Beweis

Meine Frage:
Guten Morgen,

ich hab nur eine kurze Frage und zwar ob mein Beweis so richtig ist:

Zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6|n^3-n \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Beweis per vollständiger Induktion:

Induktions Anfang:
Sei n = 1.
$\begin{eqnarray*} 6|1^3-1 \end{eqnarray*}$ gilt. (Induktions Annahme)

Induktions Schritt:
Für n+1
Wenn $\begin{eqnarray*} 6|(n+1)^3-(n+1) \end{eqnarray*}$ gelten soll, dann exisitiert eine Zerlegung wie:
$\begin{eqnarray*} (n+1)^3-(n+1) = 6*p ,\ p\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n*(n+1)*(n+2) = 6*p \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n*(n+1)*(n+2)*\frac{n-1}{n-1} = 6*p \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow n*(n+1)*(n-1)*\frac{n+2}{n-1} = 6*p \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (n^3-n)*\frac{n+2}{n-1} = 6*p \end{eqnarray*}$

Nach der Induktions Annahme teilt 6 (n^3-n) also teilt 6

$\begin{eqnarray*} (n^3-n)*\frac{n+2}{n-1} \end{eqnarray*}$ .
qed.

Wäre das so in Ordnung ?

Grüße smile

17.10.2015, 10:14

bijektion

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Der Schluss ist mir nicht ganz klar... Warum ist $\begin{eqnarray*} \frac{n+2}{n-1} \end{eqnarray*}$ eine ganze Zahl?

Aber nur mal so: Der ganze Beweis ist höchstens zwei Zeilen lang, wenn man $\begin{eqnarray*} n^3-n=n\cdot (n-1)\cdot (n+1) \end{eqnarray*}$ nutzt und einmal kurz über die Teilbarkeit nachdenkt.

17.10.2015, 10:30

lule

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Mh mist ja, dass das eine ganze Zahl ist kann ich nicht garantieren.

Aber mir ist gerade noch nicht klar auf was du hinaus möchtest.

17.10.2015, 10:32

bijektion

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Zitat:

Aber mir ist gerade noch nicht klar auf was du hinaus möchtest.

Eine Zahl ist durch $\begin{eqnarray*} 6 \end{eqnarray*}$ teilbar, wenn sie eine gerade und durch $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ teilbare Zahl ist. Du hast das Produkt von drei aufeinanderfolgenden Zahlen gegeben. Was kannst du dann sagen?

17.10.2015, 10:44

lule

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Ah, jetzt weiß ich was du meinst.

Und jetzt versuche ich das mal in Worte zu fassen:

Bei 3 aufeinander folgenden Zahlen, ist immer ein Vielfaches von 3 und ein Vielfaches von 2 dabei.
Also:

(3*k)*(2*t)*(n) = 6*(kt)*(n). Mit n-1 = 3*k und n+1 = 2*t
Und damit ist es durch 6 Teilbar smile

Aber kann ich das vorraussetzen ? Also ist das klar das es so ist ?

17.10.2015, 10:55

lule

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Vielleicht ist es auch nicht ganz richtig.

Kann man auch sagen:
(n-1)*n*(n+1)
Sei n gerade, dann gilt:
n = 2*k
also
(2k -1) * (2k) * (2k+1)

oder sei n ungerade dann gilt:

(2k)*(2k+1)*(2k+2)

Das vielfache von 2 sieht man dann ja direkt, nur das vielfache von 3 kann man noch nicht so sehen oder ?

17.10.2015, 11:15

bijektion

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Zitat:

Bei 3 aufeinander folgenden Zahlen, ist immer ein Vielfaches von 3 und ein Vielfaches von 2 dabei.

Genau das ist die Begründung. Das ist ja klar, damit bist du dann fertig.

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