Stone-Weierstraß

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OhNo234 Auf diesen Beitrag antworten »
Stone-Weierstraß
Die Aufgabe: "Führen Sie genau aus, warum der Banachraum aller stetigen, komplexwertigen -periodischen Funktionen auf , versehen mit , die lineare Hülle der Funktionen dicht enthält."

Ich habe mir gedacht, man könnte das mit dem Satz von Stone-Weierstraß zeigen, der besagt ja, dass:
"Sei (K,T) ein kompakter topologischer Raum, und sei eine punktetrennende, nirgends verschwindende Algebra stetiger Funktionen. Dann ist A dicht in der Algebra aller stetigen Funktionen auf K."



Ich brauche also ein kompaktes K. ist sicher kompakt und die Funktionen sind alle -periodisch, also wiederholen sie sich nach einiger Zeit einfach nur.

Wie zeige ich, dass exp(itn) punktetrennend ist, also dass für zwei verschiedene Punkte immer gilt?

exp(itn) ist immer ungleich 0, daraus fogt dann schon, dass es nirgends verschwindend ist

Unserer Definition nach ist eine Menge von Funktionen A eine Algebra, falls A ein linearer Teilraum ist und mit auch ist.
Dass A ein linearer Teilraum ist sollte schon daraus folgen, dass es die lineare Hülle ist. exp(itn)*exp(itn)=exp(in*(2t))

exp(itn) ist stetig

Also sollte A dicht in der Albegra sein. Ich verstehe aber immer noch nicht ganz, was ich für K nehmen soll.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stone-Weierstraß
Dichtheit bedeutet du musst für jedes und jede -periodische Funktion ein g in deinem Raum finden (ebenso -periodisch) s.d. . Aufgrund der --Periodizität ist aber , d.h. man kann sich auf das Kompaktum einschränken, zeigen, dass man dort dicht ist und mit der letzten Gleichheit folgt dann auch dass man im ganzen Raum dicht ist.

Punktetrennend ist subtiler, da falsch auf . Trivialerweise kann man mit -periodischen Funktionen die Punkte und nicht trennen. Man wird vermutlich wählen müssen und dann erst einmal zeigen, dass man dicht in ist und dann begründen, dass es bereits ausreicht um Funktionen auf ganz approximieren zu können.

Um Punktetrennend auf zu zeigen reicht es zu bemerken dass injektiv auf dem Intervall ist.
OhNo234 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke! Stimmen meine restlichen Begründungen, also, dass die lineare Hülle von exp(itn) eine Algebra bildet und dass exp(itn) nirgends verschwindend ist, oder sollte ich das noch genauer erläutern?

Bzgl. punktetrennend:

Dass exp(itn) auf kompakt ist folgt schon (wie du geschrieben hast) daraus, dass exp(itn) dort injektiv ist und aus den restlichen Überlegungen für .

Ich weiß aber nicht wirklich, wieso es ausreicht, um exp(itn) auf zu approximieren. Dass A als Teilmenge von B dicht ist haben wir immer nur so definiert, dass dann gelten muss.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke die anderen Begründungen stimmen, und das sollte auch ausreichen.

Bin mir nicht sicher was du mit Frage meinst: Meinst du von der Dichtheit von auf die auf zu schließen, oder die von auf ?
OhNo234 Auf diesen Beitrag antworten »

Von auf
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Leider habe ich noch kein schönes Argument, oder ein funktionierendes. Die Einschränkung war sozusagen notwendig, um direkt Stone-Weierstraß benutzen können.

Zusammenfassend haben für jedes , und eine Funktion in der Algebra s.d. . Damit haben wir . Aus der Stetigkeit von haben wir also ein s.d. .

Falls wären wir fertig, aber das hängt von ab und damit kann man nicht einfach kleiner als h wählen.

Es dürfte alles klappen, wenn man zeigen kann, dass uniform in beschränkt ist, aber das sehe ich leider gerade nicht.
 
 
OhNo234 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ok. Na ja, auf jeden Fall danke, ich werde es nochmals versuchen, weiß nicht, ob ich draufkomme...
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich habe mich jetzt nicht komplett in eure Idee hineingedacht, aber der Satz von Fejér liefert die Aussage sonst direkt. Das ganze ist mit etwas Kenntnis über Faltung und approximierende Einsen auch relativ leicht zu zeigen:

Betrachte den Fejér-Kern und zeige, dass dieser für eine approximierende Eins ist.

Zeige, dass , welches offenbar in der betrachteten linearen Hülle liegt.

Zeige, dass in . (Dabei braucht man nur noch die abstrakten Eigenschaften einer approximierenden Eins und dass gleichmäßig stetig ist.

Alles zusammen ergibt die Behauptung.
OhNo234 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, dann werde ichs so versuchen!
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