Partiell ableiten (2)

17.10.2015, 14:18

Rivago

Partiell ableiten (2)

$\begin{eqnarray*} u(x, t) = \frac{x - 2t}{2x + t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_t \end{eqnarray*}$ hab ich geschafft und bei $\begin{eqnarray*} u_{xx} \end{eqnarray*}$ bin ich zu $\begin{eqnarray*} u_{xx} = \frac{4x^2 - 36tx - 18t^2}{(2x + t)^2} \end{eqnarray*}$ gekommen. In der Lösung steht $\begin{eqnarray*} u_{xx} = \frac{-20t}{(2x + t)^3} \end{eqnarray*}$ , was natürlich eleganter ist.

Ist meine Lösung auch richtig? Und wenn ja, wie komm ich auf die "schönere" Lösung? verwirrt

17.10.2015, 14:20

bijektion

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Wieder mit der Faktorregel smile

Das heißt, du nutzt $\begin{eqnarray*} \partial_x \frac{5t}{(t+2x)^2} = 5t \partial_x (t+2x)^{-2} \end{eqnarray*}$ .

17.10.2015, 14:24

Rivago

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Ich verstehs irgendwie nicht unglücklich

Kannst du mir erklären, wie du das umschreibst und wie du zu hoch-2 kommst? Und wie geht es dann weiter?

Stimmt meine Lösung trotzdem?

17.10.2015, 14:31

bijektion

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Zitat:

Stimmt meine Lösung trotzdem?

Schau dir mal den Exponenten im Nenner bei deiner Lösung und bei der korrekten an. Dazu kommt noch, dass du im Zähler was quadratisches hast. Daher kann es nicht stimmen.

Zitat:

Kannst du mir erklären, wie du das umschreibst und wie du zu hoch-2 kommst?

Erstmal ist ja $\begin{eqnarray*} u_x(x,t)=\frac{5t}{(t+2x)^2} \end{eqnarray*}$ (hast du das?) und wenn nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abgeleitet werden soll, ist das $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ konstant. Konstante Faktoren dürfen rausgezogen werden, da das Ableiten linear ist. Dadurch kommt die Gleichung $\begin{eqnarray*} \partial_x \frac{5t}{(t+2x)^2} = 5t \cdot \partial_x \frac{1}{(t+2x)^{2}} \end{eqnarray*}$ .
Als nächstes die Potenzgesetze (jeweils für geeignete $\begin{eqnarray*} a,n,k \end{eqnarray*}$ ): $\begin{eqnarray*} a^{-1}=\frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a^n)^k= a^{n\cdot k} \end{eqnarray*}$ gilt.

Die einfache Ableitungsregel ( $\begin{eqnarray*} \partial_x x^{m}=m\cdot x^{m-1} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ) anwenden und noch auf die innere Ableitung achten.

Und zuletzt nicht verwirren lassen: Ich habe kurz $\begin{eqnarray*} \partial_x=\frac{\partial}{\partial x} \end{eqnarray*}$ geschrieben.

17.10.2015, 14:38

Rivago

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Okay, habe es glaub verstanden, danke smile

17.10.2015, 14:39

bijektion

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Okay

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