Vollständige Induktion

17.10.2015, 14:31

Arni1910

Vollständige Induktion

Meine Frage:
Geg: p element von den Natürlichen zahlen und größer gleich 2 ,Zeigen sie dass für alle n elemente von den natürlichen Zahlen gilt: p^n>n

Meine Ideen:
Ich bekomm die Induktion bei der Ungleichung nicht auf die Reihe. Verstehs wohl noch nicht so ganz, kann mir jemand bitte helfen. Vielen Dank.

17.10.2015, 14:33

bijektion

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Was hast du denn schon?

17.10.2015, 14:53

arni19102

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Ich hab soweit:

Induktionsanfang: P(0) p^0>0 --> 1>0
Induktionsschritt: p(n)-->p(n+1) sei p(n) wahr, zu zeigen ist p(n+1)

p^(n+1)>n+1 , = p^n*p>n+1
aber da komm ich jetzt nicht weiter.

17.10.2015, 14:59

bijektion

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Als IV hast du $\begin{eqnarray*} p^n>n \end{eqnarray*}$ . Der Schritt $\begin{eqnarray*} n\to n+1 \end{eqnarray*}$ geht mit den Potenzgesetzen, also $\begin{eqnarray*} p^{n+1}=p^n\cdot p \end{eqnarray*}$ . Nutze dann die IV und das $\begin{eqnarray*} p>2 \end{eqnarray*}$ .

17.10.2015, 15:22

arni19102

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Ich habe so was ähnliches in einem anderen forum gelesen , kann ich die IV : p^n>n hernehmen und p^n= n setzen .

Sodass sich p*n>n+1 ergibt . Durch n : p>1+1/n weil ja der bruch nie gleich 1 sein wird oder größer als 1 muss mit p größer 2 das gelten .

Du hast geschrieben p>2 aber es lautet laut angabe p größer gleich 2.

17.10.2015, 15:46

bijektion

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Zitat:

p^n>n hernehmen und p^n= n setzen .

Nein, warum sollte das gelten?

Zitat:

Du hast geschrieben p>2 aber es lautet laut angabe p größer gleich 2.

Das ändert nichts.

17.10.2015, 15:51

arni19102

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das hab ich mich ja auch gefragt , aber war mir aber nicht sicher .
ok und wie kann ich das nun weiter angehen?

17.10.2015, 15:57

bijektion

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$\begin{eqnarray*} p^{n+1}=p^n\cdot p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p^n>1 \end{eqnarray*}$ nach IV sowie $\begin{eqnarray*} p\geq 2 \end{eqnarray*}$ .

17.10.2015, 17:04

arni19102

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$\begin{eqnarray*} p^{n+1}=p^n\cdot p \end{eqnarray*}$ hatte ich schon , ich komm da einfach nicht zum schluss unglücklich