Differenzieren durch einsetzen der Parametergleichung in Funktionsgleichung

17.10.2015, 14:52

Rivago

Differenzieren durch einsetzen der Parametergleichung in Funktionsgleichung

Differenzieren Sie die Funktion $\begin{eqnarray*} z = (xy)^2 + \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x = t^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = \sqrt{t} \end{eqnarray*}$ nach dem Parameter t zum einen durch die Verwendung der Kettenregel und zum anderen durch Einsetzen der Parametergleichung in die Funktionsgleichung.

Mit der Kettenregel hab ichs hingekriegt und bin auf $\begin{eqnarray*} \dot z = 5t^4 + 1 \end{eqnarray*}$ gekommen.

Beim 2. Teil weiß ich aber gar nicht was ich machen soll verwirrt

17.10.2015, 14:57

bijektion

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Einfach einsetzen: Dann ist z.B. $\begin{eqnarray*} xy=t^2\cdot\sqrt{t} \end{eqnarray*}$ etc..

17.10.2015, 14:59

Rivago

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Hmm

Und was hat man hier für komische Sachen gemacht?

17.10.2015, 15:01

bijektion

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Auf dem Bild ist das aber die erste Variante.

17.10.2015, 15:07

Rivago

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Versteh ich mal wieder nicht unglücklich

Hier mal die komplette Lösung. Was gehört denn alles zu Teil 1?

17.10.2015, 15:09

bijektion

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Die ersten zwei eingerückten Formeln sind durch Einsetzen der Parametergleichung und die anderen beiden mit der Kettenregel.

17.10.2015, 15:12

Rivago

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Achsooo

Gut, dann hab ich Teil 2 also gelöst und das mit der Kettenregel klappt nicht so richtig..

Es ist $\begin{eqnarray*} z(x,y) = (x \cdot y)^2 \end{eqnarray*}$ und das muss ich jetzt nach x und y ableiten?

Was ist dann dieses $\begin{eqnarray*} \dot x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dot y \end{eqnarray*}$ ?

17.10.2015, 15:54

bijektion

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Zitat:

Es ist $\begin{eqnarray*} z(x,y) = (x \cdot y)^2 \end{eqnarray*}$ und das muss ich jetzt nach x und y ableiten?

Nein, nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ . Da gilt dann die Kettenregel.

Zitat:

Was ist dann dieses $\begin{eqnarray*} \dot x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dot y \end{eqnarray*}$ ?

So bezeichnet man oft die zeitlichen Ableitungen, als die nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ . D.h. $\begin{eqnarray*} \dot x = \partial_t x \end{eqnarray*}$ .

Nach Kettenregel hast du $\begin{eqnarray*} \partial_t z(x,y)= Dz(x,y)\begin{pmatrix} \partial_t x \\ \partial_t y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ (was jetzt symbolisch zu lesen ist). Dabei ist $\begin{eqnarray*} Dz \end{eqnarray*}$ die totale Ableitung.

17.10.2015, 17:48

Rivago

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Ich raffs nicht..

Ist egal.

17.10.2015, 17:54

bijektion

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Okay... Das ist aber wirklich nur Kettenregel. Ausgeschrieben: $\begin{eqnarray*} \partial_t z(x,y)= Dz(x,y)\begin{pmatrix} \partial_t x \\ \partial_t y\end{pmatrix} = \partial_x z(x,y) \cdot \partial_tx +\partial_yz(x,y) \cdot \partial_t y \end{eqnarray*}$ .

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