Körper

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MatheZ Auf diesen Beitrag antworten »
Körper
Meine Frage:
Hallo,

ich verzweifel gerade an meinem Übungsblatt. Ich hoffe ihr könnt mir einige hilfreiche Tipps geben damit ich weiter komme bzw. anfangen kann.

Danke im voraus. smile

1) Sei f(x)=x^2+x-1 und g(x)=x^2+1.
Bestimmen Sie die Lösungen von f(x)=0 und die Lösungen von g(x)=0 in den Körpern Q(rationale Zahlen) und R(reelle Zahlen).

2) Zeigen Sie, dass Q(Wurzel(17))= {a+bWurzel(17)| a,b,\in Q} Untermenge von R mit der Addition und Multiplikation der reellen Zahlen ein Körper ist.

Hinweis: Sie können benutzen, dass Wurzel(17) nicht elemen von Q ist.
----------
Vor dem a+b wurzel(17) kommt eine geschweifte klammer...

Meine Ideen:
Zu Aufgabe 1):

0=x^2+x-1
x1= \frac{-1+ Wurzel(5)}{2}

x2= \frac{-1- Wurzel(5)}{2}

das sind die Lösungen für f(x) in den körpern der reellen Zahlen.
Für g(x) gibt es keine Lösungen, da es nie Null weden kann aufgund des Quadrats.

Für die Lösungen in dem Körper Q, hab ich auch keine Lösungen, da Wurzel(5) kein Element der rationalen Zahlen sind.

Zu Aufgabe 2):

Leider weiß ich nicht wie ich hier vorgehen soll. Ich weiß nur das man die Körperaxiome anwenden sollte. Nur weiß ich nicht wie ich das machen soll, da ich nicht weiß wie ich das beweisen soll das die Axiome wahr sind für den angegebenen Körper.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper
Hallo, ich gebe mal einen Hinweis zu 2)

Um zu zeigen, dass die Menge


einen Körper bildet, muss du nicht die Körperaxiome anwenden, sonder nachweisen, dass diese erfüllt sind.

Wir betrachten Als mit den üblichen Verknüpfungen. Dann ist (unter anderem) zu zeigen, dass gilt:

ist eine abelsche Gruppe. Dafür muss man unteranderem zeigen, dass gilt:



das ist offensichtlich erfüllt. Wie sieht es mit Inversen und neutralem Element aus?

zu 1)

Zitat:
Original von MatheZ
Meine Ideen:
Zu Aufgabe 1):

0=x^2+x-1
x1= \frac{-1+ Wurzel(5)}{2}

x2= \frac{-1- Wurzel(5)}{2}

das sind die Lösungen für f(x) in den körpern der reellen Zahlen.
Für g(x) gibt es keine Lösungen, da es nie Null weden kann aufgund des Quadrats.

Für die Lösungen in dem Körper Q, hab ich auch keine Lösungen, da Wurzel(5) kein Element der rationalen Zahlen sind.



Die reellen Lösungen für passen. Die Begründung, dass keine reelle Lösung hat ist noch nicht ganz korrekt. Schließlich hatte ja auch ein drin, und besitzt auch eine Nullstelle, sogar 2.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper
siehe oben
MatheZ Auf diesen Beitrag antworten »

Muss man x und y schreiben oder kommt da a und b?

Inverses Element von x \in Q ist -x ,da x+ (-x)=(-x)+x=0.
Das neutrale Element ist 0, da 0+x=x+0=x.

Zu 1):

Aber dann hätten wir stehen:
0=x^2+1
-1=x^2

wenn ich dann die Wurzel ziehen würde ging es ja nicht weil ich ja dann ein minus in der Wurzel hätte.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

ob da x,y oder a,b steht ist egal. Du solltest es am besten einheitlich machen, nicht so wie ich gerade Big Laugh

und die Begründung war jetzt besser. Du kennst ja die Lösungen, von der Gleichung:

Und die Elemente passen.. Jetzt brauch man halt Geduld und muss alles sauber aufschreiben und die Axiome nachweißen.. Augenzwinkern
MatheZ Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt auch das zu Nummer 2)?

Mich verwirrt da nämlich die Wurzel(17).
 
 
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »



MatheZ Auf diesen Beitrag antworten »

Ah. Jetzt verstehe ich es wie man vor geht smile
Danke. Bist eine super Hilfe Freude
MatheZ Auf diesen Beitrag antworten »
Körper
Hallo zusammen,

ich habe noch weitere fragen zu anderen Aufgaben.
Ich hoffe Ihr könnt mir weiter Helfen.

Danke im vorrau smile

Aufgabe:

1) K sei ein Körper, in dem die Gleichung x^2= -1 keine Lösung besitzt.
Auf L := ((a,b)I a,b element K) werden ene Addition und eine Multiplikation wie folgt definiert:

(a,b)+(a´,b´) := (a+a´,b+b´)
(a,b)*(a´,b´) := (a*a´-b*b´, a*b´+a´*b).

--->Zeigen Sie: L ist ein Körper.
---------------------------------------------------

2) Ist (f(t) element R(t)I f hat eine doppelte Nullstelle) mit der Skalarmultiplikation und Verktoraddition des R(t) ein Vektorraum?

R= reelle Zahlen
--------------------------------------------------

Meine Ideen:

zu 1): Wir müssen die die Körperaxiome anwenden, aber ich weiss nicht ob ich z.b:

für das Kmmutativitätsgesetz mit der Regel x+y=y+x für x und y einsetzten soll.
Muss ich schreiben: (a,b)+(a´,b´)=(a+a´,b+b´)=(a´,b´)+(a,b)
schreiben?

---------

zu 2): Eine doppelte Nullstelle hat ja z.B die funktion (x+1)^2.
An der Tafel stand bei uns:
f+g element (k element R(t) I k hat dopp. NST)
ich kann damit leider nichts anfangen bezüglich der Aufgabe. Brauch ich zwei Funktione um die Aufgabe zulösen oder kann man das auch anderes machen?

Danke....
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Körper
Zitat:
Original von MatheZ
zu 1): Wir müssen die die Körperaxiome anwenden, aber ich weiss nicht ob ich z.b:

für das Kmmutativitätsgesetz mit der Regel x+y=y+x für x und y einsetzten soll.
Muss ich schreiben: (a,b)+(a´,b´)=(a+a´,b+b´)=(a´,b´)+(a,b)
schreiben?

Du mußt nicht Körperaxiome anwenden, sondern zeigen, daß die Bedingungen gemäß der Definition eines Körpers erfüllt werden. Für das Kommutativitätsgesetz hast du das fast richtig gemacht. Völlig korrekt muß es lauten:
(a,b) + (a´,b´) = (a+a´,b+b´) = (a´+a, b´+b) = (a´,b´) + (a,b)

Zitat:
Original von MatheZ
Brauch ich zwei Funktione um die Aufgabe zulösen oder kann man das auch anderes machen?

Auch hier gilt, daß du die Bedingungen einer Definition (hier eines Vektorraums) nachweisen mußt. So zum Beispiel, daß die Addition von zwei Elementen des Vektorraums wieder ein Element des Vektorraums ergibt.
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