Lagrangsches Multiplikatorverfahren

17.10.2015, 18:54

Rivago

Lagrangsches Multiplikatorverfahren

Bestimmen Sie die Extremwerte der Funktion $\begin{eqnarray*} F(x, y) = x + y \end{eqnarray*}$ mit der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = 1 \end{eqnarray*}$ .

Ich habe für $\begin{eqnarray*} x = y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das nun mit den jeweiligen Vorzeichen in die Funktion einsetze, erhalte ich $\begin{eqnarray*} z = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z = -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Der positive Wert ist nun das Minimum, oder?

18.10.2015, 12:06

Mathema

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Du meinst $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist das Minimum und $\begin{eqnarray*} -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ dann das Maximum? Das würde mich doch sehr überraschen...

Wie kommst du darauf?

Deine Matrix sieht doch so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} L_{xx} & L_{xy} \\ L_{yx} & L_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\lambda & 0 \\ 0 & 2\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

18.10.2015, 12:52

mYthos

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Die Determinante der geränderten Hesse-Matrix lautet $\begin{eqnarray*} 8\lambda \end{eqnarray*}$ und diese ist für einen positiven x- bzw. y-Wert ebenfalls positiv ( $\begin{eqnarray*} x = y = \lambda \end{eqnarray*}$ ).
Somit dürfte dort ein Minimum vorliegen ..

mY+

19.10.2015, 18:13

Rivago

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Naja, in der Schule hat man ja bei den Extremwerten gesagt gekriegt, dass wenn ein Wert kleiner 0 ist, er dann ein Maximum ist und umgekehrt.

Wie ist es denn dann jetzt hier?

Ist der negative Wert ein Minimum oder ein Maximum?

19.10.2015, 19:11

Mathema

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Ich verstehe zwar nicht, was Mythos dir da geschrieben hat, aber er hat dir doch einen Link gelegt. Hast du den gelesen?

Deine geränderte Hessematrix lautet doch:

$\begin{eqnarray*} H= \begin{pmatrix} 0 & 2x & 2y \\ 2x & 2 \lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2 \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nehmen wir mal das erste zu untersuchende Extremum. Dort haben wir:

$\begin{eqnarray*} x_{e1}=\frac{1}{2}\sqrt{2}=y_{e1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_{e1}=-\frac{1}{2}\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in deine Matrix erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} H(x_1,y_1,\lambda_1)= \begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} & \sqrt{2} \\ \sqrt{2} & -\sqrt{2} & 0 \\ \sqrt{2} & 0 & -\sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nach der Regel von Sarrus berechnen wir die Determinante:

$\begin{eqnarray*} \det(H(x_1,y_1,\lambda_1))=0+0+0-(-2\sqrt{2})-0-(-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}>0 \end{eqnarray*}$

Also liegt hier ein Maximum vor.

Das andere Extremum überlasse ich dir.

Wink

PS: Bin auch kein Fachmann, falls ich falsch liege, möge man mich bitte verbessern.

21.10.2015, 02:09

mYthos

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, in dem Link steht's eh! Also wenn die Det > 0 (und die ist am ersten Extrw. $\begin{eqnarray*} 8 \lambda \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda > 0 \end{eqnarray*}$ ) hat man Maximum, ich habe mich nur verlesen!
Denn im Fall der zweiten Ableitung auf konventionellem Weg ist's umgekehrt ...
Mathema, du hast Recht, entschuldige bitte den Irrrtum!

mY+

21.10.2015, 09:14

URL

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Zitat:

Original von Rivago
Naja, in der Schule hat man ja bei den Extremwerten gesagt gekriegt, dass wenn ein Wert kleiner 0 ist, er dann ein Maximum ist und umgekehrt.

Ich vermute du meinst folgendes: Wenn bei einer reellen Funktion die erste Ableitung verschwindet und die zweite Ableitung negativ ist, dann hat man eine Maximalstelle gefunden. Du hast aber statt der zweiten Ableitung, die hier im wesentlichen die Hessematrix ist, einfach den Funktionswert berechnet.

21.10.2015, 09:57

Mathema

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Zitat:

Also wenn die Det > 0 (und die ist am ersten Extrw. $\begin{eqnarray*} 8 \lambda \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda > 0 \end{eqnarray*}$ ) ...

Das sehe ich leider immer noch nicht. verwirrt

Meine Messematrix sieht doch so aus.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} H= \begin{pmatrix} 0 & 2x & 2y \\ 2x & 2 \lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2 \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt die Determinante berechne, erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \det(H)=-2y \cdot 2y \cdot 2 \lambda - 2 \lambda \cdot 2x \cdot 2x =-8y^2 \lambda-8x^2 \lambda=-8 \lambda(x^2+y^2)=-8 \lambda \end{eqnarray*}$

So ergibt sich für ( $\begin{eqnarray*} \lambda < 0 \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} x_{e1}=\frac{1}{2}\sqrt{2}=y_{e1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_{e1}=-\frac{1}{2}\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

eine positive Determinante, also ein Maximum.

Und für $\begin{eqnarray*} \lambda > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{e2}=-\frac{1}{2}\sqrt{2}=y_{e2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_{e2}=\frac{1}{2}\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

eine negative Determinante, also ein Minimum.

Oder liege ich hier verkehrt?

21.10.2015, 15:16

mYthos

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Die Determinante hat bei uns den gleichen Wert, ich habe sie mittels des Entwicklungssatzes und du mittels Sarrus berechnet.
Der Unterschied liegt darin, dass wir beide die $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ -Funktion mit verschiedenen Vorzeichen haben.

Es ist essentiell, dass für die geränderte Matrix vor der $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ -Funktion ein MINUS zu stehen hat (!), daher kehrt sich das Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ um.
Dadurch ist zusätzlich eine Verwechslung entstanden, aber nichtsdestoweniger hast du Recht, dass bei positiven Werten die Determinante positiv wird!

Ich rechne

$\begin{eqnarray*} L(x, y , \lambda) = x + y - \lambda (- 1 + x^2 + y^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial x} = 1 - 2 \lambda x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial L}{\partial y} = 1 - 2 \lambda y \end{eqnarray*}$
---------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac 1 {2 \lambda}, \ y = \frac 1 {2 \lambda} \end{eqnarray*}$

--> Aus Nebenbedingung

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = \frac 1 {\sqrt 2}, \ \lambda_2 = -\frac 1 {\sqrt 2} \end{eqnarray*}$

Somit haben x, y und MEIN(!) $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ gleiches Vorzeichen!
Für deren positive ist die Matrix positiv ( $\begin{eqnarray*} + 8 \lambda \end{eqnarray*}$ ) und bezeichnet daher ein Maximum.

Ich denke, dass damit das Missverständnis erledigt ist (?)
Die Rechnung auf konventionellem Weg (mit $\begin{eqnarray*} f(x) = x + \sqrt{1 - x^2} \end{eqnarray*}$ ) bestätigt auch diesen Sachverhalt.

[attach]39425[/attach]

mY+

21.10.2015, 15:31

Mathema

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Zitat:

Ich denke, dass damit das Missverständnis erledigt ist (?)

Absolut.

Wie gesagt - ich bin auch kein ausgewiesener Experte auf diesem Gebiet. Daher danke ich dir recht herzlich für die Erklärung!

Wink

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