Von einer ganzen Zahl zu einer rationalen Zahl

17.10.2015, 19:54

Heisenberg93

Von einer ganzen Zahl zu einer rationalen Zahl

Meine Frage:
Guten Abend zusammen,

ich muss folgende Aufgabenstellung lösen:

Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Fkt. mit folgender Eigenschaft.

i) f(x+y)= f(x) + f(y) für alle reellen Zahlen x,y

Man zeige daß es eine reelle Zahl a gibt, so dass

1) f(n) = n*a für jede ganze Zahl

2) f(r) = r * a für jede rationale Zahl r

Meine Ideen:

Ich verstehe nicht so ganz was ich machen soll.

Meine Funktionsvorschrift sagt ja, $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ , dass wenn ich

eine reelle Zahl einsetze, soll eine relle Zahl rauskommen.

Laut 1) f(n) = n*a für jede ganze Zahl,

brauche ich jetzt eine Zuordnung (ist das die Aufgabe?) damit ich eine reelle Zahl kriege und das gleiche soll ich dann auch für 2) machen?

Zudem verstehe nicht was mir die Eigenschaft bringen soll ,f(x+y)= f(x) + f(y).

Ich habe doch nur ein f(n) und f(r)?

17.10.2015, 21:08

Guppi12

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Hallo,

Zitat:

Zudem verstehe nicht was mir die Eigenschaft bringen soll ,f(x+y)= f(x) + f(y).

Ich habe doch nur ein f(n) und f(r)?

Das sind doch nur Variablennamen, jedezeit austauschbar.

Gehen wir zuerst mal 1) an. Ich denke, es ist gut, wenn du zuerst mal ein Gefühl dafür bekommst, was du hier zeigen sollst. Nehmen wir mal als Beispiel an, dass $\begin{eqnarray*} f(1) = 13 \end{eqnarray*}$ gilt. In diesem Fall bekommen wir $\begin{eqnarray*} f(2) = f(1+1) = f(1)+f(1) = 13+13 = 2\cdot 13 \end{eqnarray*}$ und weiter $\begin{eqnarray*} f(3) = f(2+1) = f(2)+f(1) = 2\cdot 13+13 = 3\cdot 13 \end{eqnarray*}$ .

Es würde also hier naheliegen, dass vielleicht $\begin{eqnarray*} a=13 \end{eqnarray*}$ gilt.
Ich hoffe du siehst, dass man das so weiterführen kann. Ein formaler Beweis dieses Weiterführens ist mit vollständiger Induktion zu führen. Damit hätten wir dann schonmal für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} f(n) = n\cdot 13 \end{eqnarray*}$ . Nun muss aber ja nicht $\begin{eqnarray*} f(1)=13 \end{eqnarray*}$ gelten. Zeige also allgemein mit $\begin{eqnarray*} a := f(1) \end{eqnarray*}$ und mit Hilfe der vollständigen Induktion, dass $\begin{eqnarray*} f(n) = n\cdot a \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Danach kannst du ja mal weiterübelegen, wie man das für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ verallgemeinern kann.

18.10.2015, 14:12

Heisenberg93

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Erstmal danke für Beispiel.

Die Induktion auf 1) f(n)=n*a würde dann wie folgt aussehen.

z.Z. für n+1 -> (n+1)*a = n*a + a

f(n+1)=f(n)+f(1)=a*n+f(1)=n*a + a

18.10.2015, 14:26

Heisenberg93

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So jetzt weiß ich nicht genau wie ich das verallgemeinern kann, dass es auch für $\begin{eqnarray*} n\in Z \end{eqnarray*}$ gilt.

Jetzt brauche ich ja eine Unterscheidung. Wenn mein n negativ ist, dann muss es -n*a +(- a) lauten und wenn mein n positiv ist bleibt es bei n*a + a

18.10.2015, 15:25

HAL 9000

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Strategisch günstiger (in Hinblick auf 2)) ist es, in 1) nicht nur $\begin{align*} f(n)=n\cdot f(1) \end{align*}$ , sondern gleich $\begin{align*} f(nx)=n\cdot f(x) \end{align*}$ für beliebige reelle $\begin{align*} x \end{align*}$ nachzuweisen - der Beweis läuft ohne Mehraufwand praktisch identisch ab. Anschließend nutzt man dann

$\begin{align*} 0 = f(0) = f(nx+(-n)x) = f(nx) + f((-n)x) \end{align*}$

um die Sache auch für negative $\begin{align*} n \end{align*}$ nachzuweisen.

18.10.2015, 18:18

Heisenberg93

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Ich kann dir nicht ganz folgen.

f(n)=n*f(1) in diesem Schritt habe ich es ja für alle $\begin{eqnarray*} n\in N \end{eqnarray*}$ bewiesen.

Jetzt ist dein Ansatz, um es für die ganzen Zahlen zu beweisen folgender (denn ich leider nicht verstehe, warum setzt du 0 ein und wieso erhälst du dadurch f(nx+(-n)x) ):

0=f(0)=f(nx+(-n)x)=f(nx)+f((-n)x)

Zu dem hast du eine weitere Eigenschaft genannt:

f(nx)= n*f(x)

Beweis: z.Z. für n+1 -> (n+1)*f(x)= n*f(x)+f(x)

f((n+1)*x)=f(xn+x)=f(xn)+f(x)= n*f(x)+f(x).

Durch diesen Schritt zeige/beweise ich ja das es für jede natürliche Zahl und einen weiter geht.

Mein Problem ist folgendes: Ich verstehe zwar wie ich per Induktion es für n+1 $\begin{eqnarray*} n\in N \end{eqnarray*}$ beweise, aber nicht weiß wie es für die Ganzen/Rationalen/Reellen Zahlen beweisen kann.

18.10.2015, 22:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Heisenberg93
Jetzt ist dein Ansatz, um es für die ganzen Zahlen zu beweisen folgender (denn ich leider nicht verstehe, warum setzt du 0 ein und wieso erhälst du dadurch f(nx+(-n)x) ):

Du wirst doch nicht bestreiten, dass $\begin{eqnarray*} 0 = nx+(-n)x \end{eqnarray*}$ gilt, oder? Wenn zwei Argumente gleich sind, dann natürlich auch ihr Funktionswert, also gilt $\begin{eqnarray*} f(0) = f(nx+(-n)x) \end{eqnarray*}$ . Was ist denn daran nicht zu verstehen? verwirrt

Und dass f(0)=0 gilt, folgt durch Einsetzen von x=0,y=0 in die gegebene Funktionalgleichung f(x+y)=f(x)+f(y) .

Zitat:

Original von Heisenberg93
aber nicht weiß wie es für die Ganzen/Rationalen/Reellen Zahlen beweisen kann.

Von reellen Zahlen war nirgendwo die Rede, aus gutem Grund: Für beliebige reelle $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ kann $\begin{eqnarray*} f(r)=ra \end{eqnarray*}$ hier gar nicht bewiesen werden, weil es i.a. auch gar nicht stimmt - zumindest nicht ohne zusätzliche Voraussetzungen an $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Siehe Cauchysche Funktionalgleichung.

19.10.2015, 08:45

Heisenberg93

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Guten Morgen,

$\begin{eqnarray*} 0 = nx+(-n)x \end{eqnarray*}$

Gibt es nur diese Variante, um es für alle ganzen Zahlen zu beweisen (das sich die Argumente gegenseitig auflösen müssen)?

19.10.2015, 09:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von Heisenberg93
Gibt es nur diese Variante, um es für alle ganzen Zahlen zu beweisen (das sich die Argumente gegenseitig auflösen müssen)?

Weiß ich nicht, und interessiert mich auch herzlich wenig - kannst ja gern eine andere suchen, wenn dir diese (aus welchen Gründen auch immer) nicht passt. Augenzwinkern

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