Naive Mengenlehre

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MH15 Auf diesen Beitrag antworten »
Naive Mengenlehre
Meine Frage:
Hallo, ich soll in der Aufgabenstellung zeigen das M1 C(teilmenge) Mn ist. Es ist mir klar das M1 teilmenge von Mn ist nur leider weiss ich nicht wie ich das zeigen kann. Die Menge sieht so aus Mn:={x ?Q : x ? 5 + 2n + 1/2n}.
Aufgabenstellung: Zeigen Sie bitte zuerst, dass für alle n ?N die Beziehung M1 ? Mn gilt

Meine Ideen:
Ich habe für n=1 eingesetzt und dadurch sah ich das M1 Teilmenge Mn ist aber wie ich das genau zeige weiss ich leider nicht.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Naive Mengenlehre
Hallo,

ein Teilmengenbeweis geht so. Wir wollen zum Beispiel zeigen, dass gilt. Dann nehmen wir uns ein und zeigen, dass es dann auch in drin ist.

Zum Beispiel:




Nun will ich zeigen, dass gilt. Ich nehme mir ein beliebiges . Dieses hat die Eigenschaft. . Wenn gilt, dann gilt auch . Also erfüllt jedes Element (wir haben es ja beliebig gewählt) die definierende Eigenschaft der Menge . Also ist dieses auch in . Da es beliebig war gilt nun . Das bedeutet aber gerade, dass gilt.

Versuch dich einfach mal an dem Formeleditor, dann kann man auch die Menge und die Beziehung besser erkennen, die lassen sich zwar erahnen, aber die Fragezeichen, sind doch etwas störend .

Viele Grüße
 
 
MH15 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal für die schnelle antwort Freude
Also wenn a>1 ist können wir nicht sagen das a>0 ist ich glaube du hast es umgekehrt gemeint nämlich wenn a>0 ist dann ist a>1 so wäre es richtig oder verstehe ich da etwas falsch ?
Die fragezeichen heißen nichts anderes als (element).
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Zahl ist den größer als 1 aber kleiner als Null? verwirrt Steh ich jetzt auf dem Schlauch? Es gilt doch

dann ist ist jedenfalls falsch unglücklich

denn aber ist offensichtlich nicht wahr
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Naive Mengenlehre
Zitat:
Original von MH15
Meine Frage:
Hallo, ich soll in der Aufgabenstellung zeigen das ist. Es ist mir klar das Teilmenge von ist nur leider weiss ich nicht wie ich das zeigen kann. Die Menge sieht so aus .
Aufgabenstellung: Zeigen Sie bitte zuerst, dass für alle die Beziehung gilt

Meine Ideen:
Ich habe für n=1 eingesetzt und dadurch sah ich das M1 Teilmenge Mn ist aber wie ich das genau zeige weiss ich leider nicht.


stimmt es so oben?
MH15 Auf diesen Beitrag antworten »

ui das stimmt ich hatte einen denkfehler Hammer Danke Big Laugh
Also jetzt mal zur Aufgabe. Ich hätte einmal die Menge Mn={12n+1/2n} und dann M1={12n+2/2n+1}
wie gehe ich denn jetzt weiter vor traurig
MH15 Auf diesen Beitrag antworten »

ja danke nur das anstatt x= ein x >= hinmuss. smile
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Also dann nimm dir jetzt ein Element aus der Menge und zeige, dass es in der anderen auch liegt
MH15 Auf diesen Beitrag antworten »

Mn={\frac{12n+1}{2n}} so und die menge M1={ \frac{12n+2}{2n+1}}
MH15 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MH15
Mn={\frac{12n+1}{2n}} so und die menge M1={ \frac{12n+2}{2n+1}}


tut mir leid kenne mich nicht so aus mit Formeleditor.
Ich weiss nicht wie ich das machen soll MN ist ja eine allgemeine menge ich bin verzweifelt Hammer
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Also eine Menge beschreibt man entweder durch die Aufzählung aller ihrer Elemente oder durch eine definierende Eigenschaft

Fall 1)

Fall2)

die Menge in Fall 2) kann man auch so beschreiben

Zum Formeleditor: einfach den Quellcode, den du ja schon richtig hast, zwischen (l) (/l) einfüge. Nur statt den runden Klammer () nimmst du die eckigen Klammern [], dann wird's ordentlich angezeigt.

Und ist keine besonders tolle Beschreibung einer Menge

Zudem weiß ich nicht ob es in der ersten Beschreibung aus dem ersten Beitrag oder heißen soll.

Versuche bitte die Aufgabenstellung 1:1 abzutippen.
MH15 Auf diesen Beitrag antworten »

Für jedes n element N ist folgende Menge definiert:



Zeigen sie bitte, dass für alle n element N, die Beziehung .

Das ist die Aufgabenstellung. verwirrt
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Also dann nimm dir ein Element aus . Wir nennen es . Dieses ist laut der definierenden Eigenschaft der Menge größer oder gleich als: .

Also

Jetzt wir wollen wir zeigen, dass auch für beliebiges gilt:

.

Hinweis: .

so das war jetzt nur "naiv" umgeformt. Hast du schon mal eine Abschätzung gemacht?

EDIT: Um zu schreiben, bitte den Befehl: \mathbb Q verwenden. Das geht auf für einfach den entsprechenden Buchstaben verwenden. Für geschwungene Buchstaben verwendet man zum Beispiel \mathcal
MH15 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die antwort Freude
nein leider weiß ich nicht wie eine Abschätzung geht.
Ich bin nur mitgekommen bis
wie kommst du auf die ?
Also ich weiß jetzt das die menge M1 dieses Intervall entspricht
und die menge Mn wäre genau dieses intervall heißt also das M1 eine Teilmenge von Mn ist aber eine unechte wäre diese verwirrt
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »



Die gleiche Rechnung kann man auch mit dem durchführen:




Nun zur Abschätzung. Wenn man einen Bruch hat, zum Beispiel der Form:

, dann ich das nach oben Abschätzen. Denn Ein Bruch wird insgesamt größer, wenn man den Nenner kleiner macht - mein teilt ja dann durch weniger. Also gilt:



Genau das kannst du jetzt bei der Aufgabe auch machen:



Wir haben also insgesamt:

Für alle gilt: . Außerdem gilt für alle :



demnach gilt für alle :



Also erfüllt die definierende Eigenschaft für . Also gilt:
MH15 Auf diesen Beitrag antworten »

Wow du bist echt sehr gut das hat mein Prof heute auch erzählt Freude wäre es somit bewiesen das M1 teilmenge von Mn ist für alle n element N ?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

was fehlt denn deiner Meinung nach noch?
MH15 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm verwirrt Ich glaube ich muss noch zeigen das m auch element von M1 ist oder ?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Also noch einmal ganz ausführlich:



Die linke Seite wollen wir zeigen. Aber damit lässt sich natürlich nicht arbeiten, das ist ja nur ein Zeichen. Rechts steht dann im Grunde die Definition dieses Zeichens.

Zitat:
Original von steviehawk
Also dann nimm dir ein Element aus . Wir nennen es . Dieses ist laut der definierenden Eigenschaft der Menge größer oder gleich als: .


Wir haben doch hier ein gewählt. Natürlich ist es dann auch in drin. Das einzige, was wir noch zeigen mussten war, dass es dieses dann auch in liegt. Das haben wir aber gemacht. Da das beliebig gewählt war, gilt nur auch für alle , dass sie auch in liegen.
MH15 Auf diesen Beitrag antworten »

Wow also ist der Beweis fertig Freude du bist echt sehr gut und hast mir sehr geholfen vielen vielen dank smile könnte ich dich vllt öfter fragen smile
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde dir empfehlen, dich einfach hier anzumelden. Gerne kümmert sich einer der Matheboardler dann gemeinsam mit dir um deine Probleme. Bitte gib dir dabei immer Mühe die Aufgabe so vollständig wie möglich hier rein zu stellen, fehlende Informationen oder falsche Zeichen machen es allen Helfern unnötig schwer.

Was studierst du denn?
MH15 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich danke dir sehr super nett bist du Freude Ich Studiere Wirtschaftsmathematik. Was für vorteile hat es denn wenn ich mich hier anmelde ?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Mal angenommen, du bearbeitest gemeinsam mit einem Helfer eine Aufgabe. Dann seit ihr durch und du schaust dann natürlich nicht mehr hier rein zu der entsprechenden Aufgabe. Dann fällt dem Helfer auf, dass es einen Fehler gab, der beiden nicht auffiel. Wenn du angemeldet bist kann er dir eine private Nachricht schicken und dich drauf hinweisen.. Aber ist ja kein Zwang..
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Oder dir fällt auf, dass dein ganzes Posting voller Fragezeichen ist. Dann kannst du als angemeldetes Mitglied deinen Beitrag nochmal editieren Augenzwinkern

Du könntest dich außerdem per Mail benachrichtigen lassen, wenn es eine neue Antwort auf deine Frage gibt.

Wenn du übrigens wissen möchtest, wie man seine Beiträge so schön formatieren kann, wie steviehawk das getan hat, kannst du ja mal unseren Formeleditor anschauen. Ist natürlich auch keine Pflicht, erhöht aber die Hilfsbereitschaft meist stark.
MH15 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich muss jetzt die Schnittmenge und die Vereinigungsmenge bilden mithilfe der Aufgabe die wir eben gezeigt haben wenn ich Jetzt die Schnittmenge berechnen wollen würde wie kann ich da vorgehen meiner meinung nach ist es genau das was wir eben gezeigt haben also 6+1/2 verwirrt


Aufgabe:

(Reichteseite geht durch alle natürlichen Zahlen ohne 0 und die Linkeseite geht bis unendlich)
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MH15
Also ich muss jetzt die Schnittmenge und die Vereinigungsmenge


von welchen Mengen? Meinst du und ?

Zitat:
bilden mithilfe der Aufgabe die wir eben gezeigt haben wenn ich Jetzt die Schnittmenge berechnen wollen würde wie kann ich da vorgehen meiner meinung nach ist es genau das was wir eben gezeigt haben also 6+1/2 verwirrt


ist keine Menge

Zitat:

Aufgabe:

(Reichteseite geht durch alle natürlichen Zahlen ohne 0 und die Linkeseite geht bis unendlich)


das ist keine Aufgabe

Viele Grüße Wink
MH15 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben von dieser Mengen
gezeigt, dass M1 teilmenge von Mn ist.

jetzt soll ich den Durchschnitt berechnen unter Verwendung der Aufgabe die wir gelöst haben.



Setze ich also 1 hier ein für n als startwert dann hätte ich ja 5+3/2 dieser wert wäre doch dann in der Schnittmenge enthalten. Ich weiß das es nicht die gesamte Menge ist aber es wäre doch ein Element der Menge oder denke ich falsch? verwirrt
MH15 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke die Durchschnittsmenge wäre dann [6,5;)
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt ja:









.
.
.

Wir erhalten also eine aufsteigende Kette:



genau das haben wir im Grunde im ersten Teil gezeigt. Zumindest, dass

Wenn wir jetzt den Schnitt über all diesen Menge bilden kommt natürlich die kleinste Menge raus. Also

Du darfst aber nicht einfach angeben, da diese Notation (in den aller meisten Fällen) für reelle Intervalle reserviert ist. Wir kennen die Menge ja schon sehr gut. Sie hat sogar einen Namen. Dann nenne ihn doch einfach. Als Intervall müsste dann die Einschränkung auf dabei stehen. Etwa so:

MH15 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen vielen Dank du kannst es sehr gut erklären Freude wäre denn dann die vereinigung nicht die Menge Mn? verwirrt
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du nicht als Menge angeben. Das ist ja dann unbestimmt.

Aber kannst du den Grenzwert:



bestimmen?
MH15 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja der grenzwert wäre 6 und jetzt ? Wie könnte ich denn die Menge Mn anders ausdrücken?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das ist korrekt. Also gilt doch im Grunde:



wobei

Welche Menge kommt den raus, wenn man nun alle Mengen vereinigt?
MH15 Auf diesen Beitrag antworten »

das wäre doch genau die Menge M
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Tipp: = M_{\infty} Augenzwinkern
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