Matrix: fehlende Eintragungen

17.10.2015, 20:47	Michi16	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix: fehlende Eintragungen Hallo! Ich habe eine Matrix (siehe unten) gegeben - von der man weiß, dass die Eintragungen von der Form aij = alpha . i + beta . j + gamma, für (unbekannte) alpha, beta, gamma aus R, sind. Man berechne die fehlenden Eintragungen. .......(0 -3 -6 ) A = (2 -1 a23) .......(4 a32 a33) Mein Ansatz: .......(0 -3 -6) A = (2 -1 -4) .......(4 1 -2) Ich hab hier - durch bloßes Betrachten der Matrix die fehlenden Zahlen ergänzt - kann man durch einsetzen in die Formel aij = alpha . i + beta . j + gamma oder sonstiges die Werte rechnerisch bekommen? Bzw. welchen Wert nimmt man für Alpha, Beta usw...
18.10.2015, 11:56	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast mit den verschiedenen Wertepaaren i, j = {(1;1), (1;2), .., (3;3) ein lineares Gleichungssystem zu erstellen. Offensichtlich ist dieses überbestimmt, weil 6 Gleichungen mit 3 Unbekannten zu bilden sind. Wenn es Lösungen geben soll, müssen zumindest 3 Gleichungen redundant (überflüssig) sein, d.h. das System müsste sich auf 3 Gleichungen mit den 3 Unbekannten $\begin{eqnarray} \alpha, \beta, \gamma \end{eqnarray}$ reduzieren. Das tut es zufällig auch, also ist das System abhängig! Das heisst, 3 bestimmte Elemente der Matrix hätten gar nicht angegeben werden müssen. Es bleiben diejenigen stehen, welche ein unabhängiges System von 3 Gleichungen bestimmen (z.B.): $\begin{eqnarray} \alpha + \beta + \gamma = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha + 2\beta + \gamma = -3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2\alpha + \beta + \gamma = 2 \end{eqnarray}$ Damit bekommst du auch die bereits von dir vermutete Lösung. mY+
19.10.2015, 00:08	Michi16	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal für die Erklärung! Wenn ich das Gleichungssystem löse: alpha = 2, beta = 3, y = 1 dann bekomm ich auch die gesuchten Werte in der Matrix. Eines was ich nicht ganz durchblicke: Lineare Unabhängigkeit von Vektoren Wenn die Vektoren Vielfache voneinander sind - linear abhängig und sonst nicht.. bzw. wenn man Gauß anwendet 2Zeile - 1Zeile und keine Nullzeile bekommen darf - sonst linear abhängig Ist mein Verständnis von linearer Abhängigkeit falsch? Bei -6 ist ja ein Vielfaches von -3... aber bei -1? woher weiß ich, dass man die gleichungen 0, -3 und 2 heranzieht - und nicht -1?
19.10.2015, 00:36	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Selbstverständlich musst du zunächst alle 6 Gleichungen aufstellen. Danach stellst du die Abhängigkeiten fest und sonderst redundante Gleichungen aus. Es bleiben zuletzt 3 voneinander unabhängige Gleichungen übrig. Ich habe bei meiner Auswahl in die Klammer absichtlich "z.B." geschrieben, es können auch 3 andere Gleichungen gewählt werden, wichtig ist, sie sind voneinander unabhängig. Sie haben natürlich auch die gleiche Lösung. Bei linear abhängigen Zeilenvektoren eines Gleichungssystemes entstehen mit Anwendung von Gauß Nullzeilen, das ist richtig. mY+
19.10.2015, 20:52	Michi16	Auf diesen Beitrag antworten »
..die Durchführung der Aussonderung der redundanten Gleichungen ist mir noch nicht ganz klar... Gleichungen von vorher: $\begin{eqnarray} \alpha + \beta + \gamma = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha + 2\beta + \gamma = -3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2\alpha + \beta + \gamma = 2 \end{eqnarray}$ die anderen zwei: - passt das so ? $\begin{eqnarray} 3\alpha + \beta + \gamma = 4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha + \beta + 3\gamma = -6 \end{eqnarray}$ Als nächsten Schritt: redundante Gleichungen aussondern: 1. $\begin{eqnarray} \alpha + \beta + \gamma = 0 \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} \alpha + 2\beta + \gamma = -3 \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} 2\alpha + \beta + \gamma = 2 \end{eqnarray}$ 4. $\begin{eqnarray} 3\alpha + \beta + \gamma = 4 \end{eqnarray}$ 5. $\begin{eqnarray} \alpha + \beta + 3\gamma = -6 \end{eqnarray}$ Wenn man das Ergebnis der 2. und 5. Gleichung anschaut - sieht man das -6 ein Vielfaches von -3 drei ist Wenn man das Ergebnis der 3. und 4. Gleichung anschaut - sieht man das 4 ein Vielfaches von 2 ist - daher fallen Gleichung 5 und 4. weg - ist das mathematisch richtig? oder gibt es da noch eine andere Vorgehensweise (außer Gauß) damit ich abhängige Gleichungen auf einen Blick erkennen kann? Danke!
21.10.2015, 02:00	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die 5. Gleichung stimmt nicht, Schreibfehler? Sie muss heissen $\begin{eqnarray} \alpha + 3 \beta + \gamma = -6 \end{eqnarray}$ Ansonsten stimmt es und mir ist auch kein einfacherer Weg bekannt. Bei drei Gleichungen kann man die 3-3 Determinante der Koeffizienten bilden. Wenn das System abhängig ist, ist der Wert der Determinante gleich 0 mY+
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