Addition und Multiplikation von Polynomen in endlichen Körpern

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icetea01 Auf diesen Beitrag antworten »
Addition und Multiplikation von Polynomen in endlichen Körpern
Hallo, folgendes Beispiel:

Man berechne die Summe und das Produkt der Elemente und in GF(9) isomorph zu .

Das hat 9 Elemente, wenn ich das richtig verstanden habe (hab in der Literatur ein ähnliches Beispiel gefunden, da wirds aber nicht so genau erläutert).

Wie die Multiplikation und Addition von Polynomen geht weiß ich schon. Wenn ich beispielsweise die beiden Polynome miteinander multipliziere, dann kommt raus. Dann müsste ich das durch dividieren. Als Rest kommt bei mir dann raus. Doch es gibt ja 9 verschiedene Restmöglichkeiten, welcher Möglichkeit entspricht dann mein Ergebnis? Wie gehe ich da dann vor?

Danke schon mal im Voraus!
lg
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Alle Koeffizienten sind modulo 3 zu betrachten, d.h. in , und damit erst recht in gilt .

EDIT: Offenbar hast du dich aber bereits bei dem 2x+6 verrechnet. unglücklich
 
 
icetea01 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich die Polynome normal miteinander multipliziere, kommt bei mir raus. D.h., ich muss jetzt bei allen Koeffizienten mod 3 rechnen? Dann erhalte ich: . Wenn ich das durch () dividiere, erhalte ich als Rest . Richtig so, oder versteh ich da was falsch?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist richtig, aber es ist noch nicht die ganze Wahrheit. Ich sehe 3 verschiedene Möglichkeiten, zum Ziel zu kommen.

1.) In ist , also

2.) So wie Du es gemacht hast :

3.) So wie HAL 9000 vorgeschlagen hat :

Als Standardlösung schlage ich vor, weil das aus der 2. und 3. Lösung offensichtlich mod 3 kongruent ist und Koeffizienten in hat.
Wegen ist auch die erste Lösung richtig, und man spart sich hier die Multiplikation zweier quadratischer Plynome.
Von kommt man auch ganz schnell zur Standardlösung indem man 1 addiert und subtrahiert :
icetea01 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke @Elvis!

Hätte da noch eine weitere Frage: wie kann ich das inverse Element zu in bestimmen? Was wäre da ein möglicher Lösungsweg? Hab bisher keine Idee wie ich da vorgehen muss. verwirrt

Danke schon mal im Voraus!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von icetea01
Danke @Elvis!

Hätte da noch eine weitere Frage: wie kann ich das inverse Element zu in bestimmen?

Inverses Element der Addition oder der Multiplikation? Ich erinnere mal beiläufig daran, dass in diesem Körper gilt...
icetea01 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von icetea01
Danke @Elvis!

Hätte da noch eine weitere Frage: wie kann ich das inverse Element zu in bestimmen?

Inverses Element der Addition oder der Multiplikation? Ich erinnere mal beiläufig daran, dass in diesem Körper gilt...

Multiplikation.

Das inverse Element müsste ja die Form haben, durch Ausprobieren könnte mann auf die Lösung kommen??? Dein Hinweis hilft mir im Moment nicht viel... verwirrt
icetea01 Auf diesen Beitrag antworten »

Edit, sry...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von icetea01
Dein Hinweis hilft mir im Moment nicht viel... verwirrt

Traurig. Wie lautet denn das multiplikative Inverse der 0 (d.h. des neutralen Elements der Addition) in einem Körper?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Körper ist eine abelsche Gruppe , eine abelsche Gruppe , und es gelten die Distributivgesetze.

Daraus folgt: IN EINEM KÖRPER KANN MAN NIEMALS DURCH 0 DIVIDIEREN !!! Lehrer (immer wieder erstaunlich, dass das noch nicht jeder weiß)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Oooch, jetzt hat er es verraten. Na, ist schon Ok. Augenzwinkern
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Hat über 2 Stunden gedauert, da dachte ich, der Groschen fällt nie. Wink
icetea01 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Original von icetea01
Dein Hinweis hilft mir im Moment nicht viel... verwirrt

Traurig. Wie lautet denn das multiplikative Inverse der 0 (d.h. des neutralen Elements der Addition) in einem Körper?


Sry, stand auf der Leitung. Das inverse Element existiert in dem Fall gar nicht also. Danke euch!
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