Teilfolge, Häufungspunkt, Konvergenz

18.10.2015, 11:48

Hausmeister Krause

Teilfolge, Häufungspunkt, Konvergenz

Meine Frage:
Hallo zusammen, ich komme bei folgender Proposition leider auf keinen grünen Zweig, weil ich es nicht verstehe, wäre Euch sehr dankbar, wenn Ihr mir eventuell eine kleine Hilfestellung geben könntet.:

Sei $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ eine Folge auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ (nicht unbedingt beschränkt). Dann ist b ein Häfungspunkt von $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn eine Teilfolge $\begin{eqnarray*} n_{j} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \mathbb N \Rightarrow \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{nj} \end{eqnarray*}$ --> b existiert

Meine Ideen:
Wäre sehr froh, wenn ich diesen Beweis mit jemandem erarbeiten könnte...

Herzlichen Dank im Voraus

18.10.2015, 11:48

bijektion

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Was ist die Definition eines Häufungspunktes? Augenzwinkern

18.10.2015, 13:51

Hausmeister Krause

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Definition Häfungspunkt:
Sei $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ eine Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , nicht notwendigerweise beschränkt. Wir sagen $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist ein Häfungspunkt von $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ falls, für alle "epsilon" > 0, $\begin{eqnarray*} | a_{n} -b | \end{eqnarray*}$ < epsilon unendlich viele $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Gemäss Wikipedia:
Der Häfungspunkt ist vergleichbar mit dem Grenzwert. Beim Grenzwert müssen fast alle Punkte in der Epsilon-Umgebung liegen, bei einem Häfungspunkt müssen dies nur unendlich viele sein.

Ideen:
Blöde Frage.... stimmt die Aussage, dass "unendlich viele" weniger sind als "fast alle"?

Ganz salop ausgedrückt würde ich das so reininterpretieren, dass Sich die Folge an einen Häfungspunkt annähern kann für sagen wir 30 Punkte, sich dann aber wieder entfernen kann.

Hingegen bei einem Grenzwert, bleibt die Kurve diesem Grenzwert bis unendlich treu?

Besten Dank für Deine Hilfe Bijektion

18.10.2015, 13:59

bijektion

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Zitat:

Ganz salop ausgedrückt würde ich das so reininterpretieren, dass Sich die Folge an einen Häfungspunkt annähern kann für sagen wir 30 Punkte, sich dann aber wieder entfernen kann.

Ich weiß nicht, was das bedeuten soll.

Mit deiner Definition

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ eine Folge in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , nicht notwendigerweise beschränkt. Wir sagen $\begin{eqnarray*} b \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist ein Häfungspunkt von $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ falls, für alle "epsilon" > 0, $\begin{eqnarray*} | a_{n} -b | \end{eqnarray*}$ < epsilon unendlich viele $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

kannst du schon alles machen: Wenn die Teilfolge $\begin{eqnarray*} (a_{n_j})_j \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ konvergiert, was bedeutet das dann? Für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ gibt es...

18.10.2015, 15:03

Hausmeister Krause

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Hallo Bijektion

Danke für Deine rasche Antwort.

Was ich damit meine ist folgendens:
Das wenn sich die Folge an ein Grenzwert nähert, bleibt sie dem treu, sprich sie verlässt den Epsilon-Bereich nicht mehr.
Nähert sich die Folge aber einem grenzwert, kann es sein, dass sie sich wieder von ihm entfernen könnte?

Leider kann ich deine Frage nicht beantworten, ich weiss nicht was es für $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ gibt

18.10.2015, 15:11

bijektion

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Zitat:

Das wenn sich die Folge an ein Grenzwert nähert, bleibt sie dem treu, sprich sie verlässt den Epsilon-Bereich nicht mehr. Nähert sich die Folge aber einem grenzwert, kann es sein, dass sie sich wieder von ihm entfernen könnte?

Das ist doch widersprüchlich.

Wenn die Teilfolge $\begin{eqnarray*} (a_{n_j})_j \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ konvergiert könntest du mal die Definition des Grenzwertes nutzen.

18.10.2015, 15:18

Hausmeister Krause

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Zitat:

Original von bijektion
[QUOTE]Das wenn sich die Folge an ein Grenzwert nähert, bleibt sie dem treu, sprich sie verlässt den Epsilon-Bereich nicht mehr. Nähert sich die Folge aber einem grenzwert, kann es sein, dass sie sich wieder von ihm entfernen könnte?

Das ist doch widersprüchlich.

Mein Fehler ich meinte: Das wenn sich die Folge an ein Grenzwert nähert, bleibt sie dem treu, sprich sie verlässt den Epsilon-Bereich nicht mehr. Nähert sich die Folge aber einem Häfungspunkt, kann es sein, dass sie sich wieder von ihm entfernen könnte?

18.10.2015, 15:21

bijektion

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Naja, wie man es nimmt: In jeder Umgebung eines Häufungspunkts $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ liegen unendlich viele Glieder, ist er aber kein Grenzwert, so gibt es ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ für das es kein derartiges $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} |a_n-b|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n>N \end{eqnarray*}$ .

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