Irrationalität beweisen

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vogs Auf diesen Beitrag antworten »
Irrationalität beweisen
Den berühmten indirekten Beweis von Euklid zur kennt man ja:
Z.B. Wiki-Artikel (darf leider nicht verlinken).

Ich wollte nun die Irrationalität von beweisen und bin folgendermaßen vorgegangen:

Indirekt: für und a,b dürfen nicht beide gerade sein. ist also gekürzter teilerfremder Bruch.

Durch Umformungen usw. bekommt man dann folgendes:


Die Gleichung ist also nicht korrekt da immer ungerade ist und immer gerade ist.

In Euklids indirekten Beweis wird als Widerspruch gefolgert, dass a und b (oder im Wiki-Artikel p und q) gerade sind und daher die Annahme falsch ist.
Bei mir führe ich den Beweis nicht auf die "Ursprungsvariablen" a und b zurück sondern Beurteile die Gleichung an sich. Ist das so korrekt?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du überhaupt auf ? verwirrt
vogs Auf diesen Beitrag antworten »

Potenzieren zur Basis 2 bring:
Beidseitig mit ^b erweitern (oder wie man das korrekt ausdrückt) bringt
Kann auch folgendermaßen geschrieben werden
=>

Kann natürlich auch sein, dass ich wo nen groben Schnitzer gemacht habe. Bin natürlich für Korrekturen und Ratschläge sehr dankbar!
vogs Auf diesen Beitrag antworten »

Niemand? Das gibts doch nicht oder!? Übersehe ich wo einen Fehler?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
Nein, dein Beweis ist völlig korrekt und vollständig. Freude
Grüß ollie3
vogs Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!

Für mich stellt sich nun noch die Frage, zu Unterschied zu Euklids Beweis für Wurzel(2).
Dort wäre (könnte) die Gleichung ja stimmen, da hat er ja drauß geschlossen dass a und b beide Gerade sind und es sich daher um eine irrationale Zahl handelt da die Annahme falsch war.
Wie erkenne ich nun, wann der Beweis fertig ist bzw was mein korrekter Schluss ist?
 
 
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
Das erkennt man in diesem Fall an der Eindeutigkeit der primfaktorzerlegung.
Eine Zahl der form 3^b kann nicht gleichzeitig die Form 2^(a-b) haben, denn
Auf der einen Seite hätte man nur 3en, auf der anderen Seite nur 2en als
Primfaktoren. Augenzwinkern
Gruss ollie3
vogs Auf diesen Beitrag antworten »

Besten Dank für die Info. Um jedoch nochmal eine Analogie zu Euklids Beweis herzustellen. Wenn man das "Ergebnis" nun mit meinem vergleicht, wäre seines ja korrekt, da beide Zahlen gerade sind und daher das = berechtigt sein könnte. Jedoch ist wird gezeigt, dass die Annahme falsch ist, a und b sind nicht beide gerade. Mir ist nun nicht ganz klar, wann ich (allgemein) auf was hinaus muss.
Bei meinem Beweis ist das = nach dem Umformen der Gleichung nicht korrekt. Bei Wurzel zwei kommt man zum Schluss, dass die Annahme falsch war.
Ich hoffe es is klar, auf was ich hinaus will.
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