Äquivalenz überprüfen

18.10.2015, 13:46	Adramelec	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenz überprüfen Hallo, folgendes Aufgabe: Sind die folgenden beiden logische Schlussfolgerungen inhaltlich gleichwertig? a) $\begin{eqnarray} a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b) \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} f(a) = f(b) \Rightarrow a = b \end{eqnarray}$ Ich beginne: $\begin{eqnarray} a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b) \leftrightarrow f(a) = f(b) \Rightarrow a = b \end{eqnarray}$ Und nun negiere ich den rechten Teil und tausche a und b. Also so: $\begin{eqnarray} a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b) \leftrightarrow \neg(a = b) \rightarrow \neg(f(a) = f(b)) \end{eqnarray}$ Jetzt bin ich mir nicht 100% sicher. Aber eigentlich müsste es ja dann so laufen: $\begin{eqnarray} a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b) \leftrightarrow (\neg a \neq \neg b) \rightarrow (\neg f(a) \neq \neg f(b)) \end{eqnarray}$ Und somit wäre es nicht äquivalent? Richtig?
18.10.2015, 14:04	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Was immer Du mit der Logik machst, die beiden Aussagen definieren (zusammen mit dem Allquantor) die Injektivität der Funktion f, müssen also gleichwertig sein.
18.10.2015, 14:09	Adramelec	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja ich habe versucht b) einfach umzudrehen mit der Regel: $\begin{eqnarray} a \rightarrow b \leftrightarrow \neg b \rightarrow \neg a \end{eqnarray}$ Und wenn ich mir hier b ansehe, entspricht ja oben der allgemeinen Formel: a = $\begin{eqnarray} f(a) = f(b) \end{eqnarray}$ b = [/latex]a = b[/latex] Wenn ich hier nun verneine von a=b ist es ja das: $\begin{eqnarray} \neg(a = b)<br /> \neg a \neq \neg b \end{eqnarray}$ Da ja das Negationszeichen sowohl auf mein a,b und = geht, richtig?
18.10.2015, 14:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
nicht richtig. $\begin{eqnarray} \neg(a=b) \end{eqnarray}$ ist genau dann wahr wenn $\begin{eqnarray} a\ne b \end{eqnarray}$ wahr ist.
18.10.2015, 14:32	Adramelec	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh... ist das nur bei dem = so? Denn wenn ich statt dem = ein oder habe.. dann gilt das ja doch: Also z.B. $\begin{eqnarray} \neg(a \vee b) \leftrightarrow \neg a \wedge \neg b \end{eqnarray}$ Hier verneine ich ja auch sowohl den Operator als auch die Literale selbst.
18.10.2015, 18:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Die Negation der Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray} a=b \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} a\ne b \end{eqnarray}$ . Bei booleschen Algebren (Aussagenlogik, Mengenlehre, ...) gelten die de Morgans'chen Regeln.
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18.10.2015, 18:51	Adramelec	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke :-))

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