Es sei E := {(a, b) : a ? R, b ? R, a2 + b2 = 1}. |
18.10.2015, 15:26 | urex | Auf diesen Beitrag antworten » |
Es sei E := {(a, b) : a ? R, b ? R, a2 + b2 = 1}. Aufgabe 1 (2 Punkte) Es sei E := {(a, b) : a ? R, b ? R, a2 + b2 = 1}. Zeigen Sie: Sind (a, b) und (c, d) Elemente von E, so ist auch (ac ? bd, ad + bc) ein Element von E. Aufgabe 2 (3 Punkte) Bestimmen Sie alle Tripel (m, u, v) nat¨urlicher Zahlen, die die folgenden beiden Eigenschaften erf¨ullen: 62 + m2 = u2 und 152 + m2 = v2. Aufgabe 3 (4 Punkte) Vorbemerkung: Sind m, n aus N, so liefert die Division von n durch m einen eindeutigen Quotienten q ? N und einen eindeutigen Rest r ? N mit n = q · m + r und 0 ? r ? m ? 1. Genau dann ist m ein Teiler von n, wenn r = 0 ist. Beispiel: Bei (n,m) = (810, 62) ergibt sich (q, r) = (13, 4), weshalb hier m kein Teiler von n ist. Zur konkreten Aufgabenstellung: Im Folgenden seien m und a aus N. (a) Zeigen Sie: Ist m ein Teiler von a2, und ist r der Rest bei der Division von a durch m, so ist m ein Teiler von r2. (b) Es seien nun speziell m = 3 oder m = 5. Zeigen Sie: Ist m ein Teiler von a2, so folgt m teilt bereits a. (c) Zeigen Sie, dass es keine rationale Zahlen s, t mit s2 = 3 und t2 = 5 gibt. Aufgabe 4 (3 Punkte) Es seien A und B zwei verschiedene Punkte des Kontinuums und C sei ein auf der Strecke von A nach B liegender Punkt. Man sagt, dass C die Strecke von A nach B im Verh¨altnis des goldenen Schnittes teilt, falls gilt: AB : AC = AC : CB. (Dabei bedeutet XY die L¨ange der Strecke von Punkt X nach Punkt Y .) Man nennt dann := AB : AC die Verh¨altniszahl des goldenen Schnittes. Berechnen Sie und zeigen Sie, dass irrational ist. Hinweis: Zeigen Sie zun¨achst, dass 2 = + 1 gilt. Aufgabe 5 (4 Punkte) Gegeben ist die Menge M := {s + t · ?2 : s ? Q, t ? Q}. Zeigen Sie: (a) Ist z = s + t · ?2 aus M (mit s, t ? Q), so ist z genau dann irrational, wenn t 6= 0 ist. (b) 1 3+p72 ist Element von M. (c) ?3 ist kein Element von M. Meine Ideen: |
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18.10.2015, 15:33 | Mathema | Auf diesen Beitrag antworten » |
Typisches Copy&Paste... http://www.onlinemathe.de/forum/Es-sei-E...8712;-R-a2-b2-1 |
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18.10.2015, 17:29 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bei onlinemathe inzwischen anscheinend gelöscht, dafür aber bei matehlounge gepostet. Aufgrund der zahlreichen Postings und der schlechten Aufmachung schließe ich hier. @urex: Solltest Du ernsthaftes Interesse an einer hilfreichen Antwort haben, dann öffne bitte einen neuen lesbaren Thread mit eigenen Ansätzen. |
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