Es sei E := {(a, b) : a ? R, b ? R, a2 + b2 = 1}.

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urex Auf diesen Beitrag antworten »
Es sei E := {(a, b) : a ? R, b ? R, a2 + b2 = 1}.
Meine Frage:
Aufgabe 1 (2 Punkte)

Es sei E := {(a, b) : a ? R, b ? R, a2 + b2 = 1}. Zeigen Sie:

Sind (a, b) und (c, d) Elemente von E, so ist auch (ac ? bd, ad + bc) ein Element

von E.

Aufgabe 2 (3 Punkte)

Bestimmen Sie alle Tripel (m, u, v) nat¨urlicher Zahlen, die die

folgenden beiden Eigenschaften erf¨ullen:

62 + m2 = u2 und 152 + m2 = v2.

Aufgabe 3 (4 Punkte)

Vorbemerkung: Sind m, n aus N, so liefert die Division von n durch

m einen eindeutigen Quotienten q ? N und einen eindeutigen Rest r ? N mit

n = q · m + r und 0 ? r ? m ? 1.

Genau dann ist m ein Teiler von n, wenn r = 0 ist. Beispiel: Bei (n,m) = (810, 62) ergibt sich

(q, r) = (13, 4), weshalb hier m kein Teiler von n ist.

Zur konkreten Aufgabenstellung: Im Folgenden seien m und a aus N.

(a) Zeigen Sie: Ist m ein Teiler von a2, und ist r der Rest bei der Division von a durch m,

so ist m ein Teiler von r2.

(b) Es seien nun speziell m = 3 oder m = 5. Zeigen Sie: Ist m ein Teiler von a2, so folgt m

teilt bereits a.

(c) Zeigen Sie, dass es keine rationale Zahlen s, t mit s2 = 3 und t2 = 5 gibt.

Aufgabe 4 (3 Punkte)

Es seien A und B zwei verschiedene Punkte des Kontinuums und

C sei ein auf der Strecke von A nach B liegender Punkt. Man sagt, dass C die Strecke von A

nach B im Verh¨altnis des goldenen Schnittes teilt, falls gilt:

AB : AC = AC : CB.

(Dabei bedeutet XY die L¨ange der Strecke von Punkt X nach Punkt Y .)

Man nennt dann := AB : AC die Verh¨altniszahl des goldenen Schnittes.

Berechnen Sie und zeigen Sie, dass irrational ist.

Hinweis: Zeigen Sie zun¨achst, dass 2 = + 1 gilt.

Aufgabe 5 (4 Punkte)

Gegeben ist die Menge M := {s + t · ?2 : s ? Q, t ? Q}. Zeigen

Sie:

(a) Ist z = s + t · ?2 aus M (mit s, t ? Q), so ist z genau dann irrational, wenn t 6= 0 ist.

(b) 1

3+p72

ist Element von M.

(c) ?3 ist kein Element von M.

Meine Ideen:
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Typisches Copy&Paste...

http://www.onlinemathe.de/forum/Es-sei-E...8712;-R-a2-b2-1
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Bei onlinemathe inzwischen anscheinend gelöscht, dafür aber bei matehlounge gepostet.
Aufgrund der zahlreichen Postings und der schlechten Aufmachung schließe ich hier.

@urex: Solltest Du ernsthaftes Interesse an einer hilfreichen Antwort haben, dann öffne bitte einen neuen lesbaren Thread mit eigenen Ansätzen.
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