Taylorreihe - ganze Funktion vs. um eine Stelle x0 |
| 18.10.2015, 17:00 | Johann3s | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Taylorreihe - ganze Funktion vs. um eine Stelle x0 Also im Anhang habe ich ein Bild der Taylorgleichung: [attach]39394[/attach] In der Gleichung gibt es ein x und ein x0 und ich verstehe noch nicht genau, was das bedeutet. Es macht Sinn für mich, wenn man die Taylorreihe um einen Punkt haben möchte, dann ist x allgemein und x0 der Punkt/die Stelle, zu der man sich mit der Taylorreihe annähern will. In einer Übung haben wir f(x+h) so dargestellt als f(x) + f'(x) * h + o(h) mit o(h) als die höheren Ableitungen, also der Rest der Taylorreihe. Damit das für mich Sinn macht, muss f(x + h) = f(x0 + h) sein. Stimmt das? Dann wäre es ein einzelner Punkt, bzw. in dem Fall halt ein Bereich um den Punkt, an den man sich annähern will. Aber was ist, wenn man eine ganze Funktion so darstellen will. z.B. e^x lässt sich ja als Taylorreihe darstellen (oder sin, cos etc.). Wie ersetzt man in dem Fall x und x0? Weil dort gibt es ja kein x0. Ich hoffe, ihr versteht, was ich meine. Ist schwer zu formulieren, weil ich noch nicht genau weiß, was das alles ist etc. Ist eine Vorbereitung aufs Studium. Meine Ideen: Man könnte x und x0 weglassen und einfach nur noch x schreiben (also auch statt (x-x0) nur noch x). Das würde am meisten Sinn machen, finde ich. |
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| 18.10.2015, 19:22 | Widderchen | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, ist die Stelle, um welche du die Taylorreihe einer k-fach stetig-differenzierbaren Funktion entwickeln möchtest. nennt man auch "Entwicklungsstelle" der Funktion f . Man bildet bspw. sehr häufig die Taylorreihe um die Entwicklungsstelle . Dann fällt der Term in der von dir aufgestellten Taylorgleichung weg und man erhält interessante Reihendarstellungen stetig differenzierbarer Funktionen, z.B. von der e-Funktion oder den trigonometrischen Funktionen. Ich hoffe, dieser Beitrag war hilfreich. 
Viele Grüße Widderchen |
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| 18.10.2015, 20:11 | Johann3s | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für deine Antwort
okay, verstehe ich das dann richtig?: Wenn man die Taylorreihe unendlich fortführt, kommt ja immer die Funktion wieder raus, egal welche Entwicklungsstelle man wählt, oder? Und 0 als Entwicklungsstelle macht die Gleichung schöner und leichter, oder? Aber es wäre egal, welches x0 man wählt? Wenn das stimmt, dann glaube ich, habe ich das ganz gut verstanden, wie das funktioniert. Danke dir
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