Stichprobenschätzung --> Normal- oder t-Verteilung? |
| 18.10.2015, 19:38 | MasterWizz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Stichprobenschätzung --> Normal- oder t-Verteilung? Hey Leute, eine ganz simple Frage eigentlich. Nehmen wir an, dass wir von einem Zufallsexperiment eine Stichprobe von Umfang n entnehmen. Jede Zufallsvariable ist unabhängig und identisch verteilt, ansonsten ist NICHTS bekannt. Wenn wir jetzt gezwungen wären eine Wahrscheinlichkeit (z.B. ) aus den gegebenen Daten zu errechnen oder zumindest zu schätzen, würdet ihr es mit der Normal- oder der t-Verteilung machen? Sowohl das Verwenden der Normal-, als auch der t-Verteilung wären hier an dieser Stelle theoretisch unabgebracht, aber ohne weitere Information, wäre das auch jede andere Verteilung. Natürlich weiß ich, dass es ohne jegliche weitere Information theoretisch NICHT exakt lösbar ist! Ziel ist nur den Fehler der Schätzung so gering wie möglich zu halten. Meine Ideen: Wir könnten jetzt den Mittelwert und und korrigierte Stichprobenstandardabweichung berechnen und einfach drauflos standardisieren. Ist nur die Frage, ob wir dann eher in der Normalverteilungstabelle oder der t-Tabelle schauen sollten (vor allem falls n<30, damit wir beide nur schlecht annähern können) oder ob wir einen komplett anderen Weg einschlagen sollten. |
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| 18.10.2015, 19:52 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit keinem von beiden, wenn nicht klar ist, dass es sich wenigstens annähernd um eine solche Verteilung handeln könnte. Was anderes ist es, wenn es um geht, denn bei jeder beliebigen Grundgesamtheit (sofern diese eine Verteilung mit endlicher Varianz besitzt) ist der Mittelwert laut ZGWS für asymptotisch normalverteilt. |
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| 18.10.2015, 20:05 | MasterWizz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja genau, das hab ich mir auch gedacht. Wenn wir uns jetzt aber fragen, was das nächste Ereignis bringt, dann würden wir doch erwarten, dass es sich wie der Mittelwert der bisherigen Stichprobe verhält (Momentenmethode). Also ohne jegliche Kenntnis der Verteilung, des Erwartungswertes und der Varianz, würden wir doch zumindest annehmen, dass gilt, oder? Sehr an den Haaren herbeigezogen, aber so ist doch die übliche Denkweise von uns Menschen. Ich versuche gerade nur unsere Intuition mathematisch zu begründen, bzw. eine bessere Alternative zu finden, falls möglich 
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| 18.10.2015, 20:08 | MasterWizz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
-->(Edit: den hier ignorieren, kann ihn nicht löschen)<-- |
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| 18.10.2015, 20:10 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wieso sollte man das annehmen? Nehmen wir etwa Wartezeiten, die sind im einfachsten Fall exponentialverteilt. Wieso sollte man dann aufgrund einer Stichprobe (deren Mittelwert bei hinreichender Stichprobengröße wieder näherungsweise normalverteilt ist) für den nächsten Einzelwert plötzlich annehmen, er sei auch normalverteilt? Das ergibt nicht den geringsten Sinn. |
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| 18.10.2015, 20:14 | MasterWizz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Natürlich das verstehe ich. Wenn die Information "Exponentialverteilung" bekannt ist, dann berechnen wir damit auch die Wahrscheinlichkeit. Wenn jetzt aber keine Information bekannt ist und man nach besten Wissen und Gewissen "raten" soll (mehr ist es ja dann nicht). Dann möchte man doch trotzdem so genau wie möglich sein und seinen Fehler, den man höchstwahrscheinlich begeht, minimieren. Darum die Vermutung "einfach mit der Normalverteilung versuchen". Oder evtl mit der t-Verteilung oder auf eine andere Art die Whk. schätzen? Tschebeyscheff kann ja leider nur für ein besonderes Ereignis verwendet werden. |
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| 18.10.2015, 20:19 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn du bereits eine Stichprobe vorliegen hast, und nichts über die Verteilungsklasse bekannt ist, dann ist die naheliegende nichtparametrische Schätzung die Empirische Verteilungsfunktion . Wenn du das ganze lieber etwas "stetiger" haben willst, dann nimm alternativ Kerndichteschätzer. --------------------------- Ich hatte zwischenzeitlich die Ausgangsfrage aus den Augen verloren:
Um das zu schätzen, nimmt man dann einfach , was einfach der Quotient der "Anzahl der Stichprobenwert " / "Anzahl aller Stichprobenwerte" ist. |
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