Fehler in Aufgabenstellung? (Analysis)

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legendany Auf diesen Beitrag antworten »
Fehler in Aufgabenstellung? (Analysis)
Meine Frage:
Ich habe folgende Aufgabenstellung:

Es seien C (komplexe Zahlenmenge) und für k = 0,..., n. Zeigen Sie:

.

Meine Ideen:
Muss das erste (das bei ) nicht ein sein, oder täusche ich mich? Danke im Voraus.
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Du täuscht dich. Um jetzt nicht alles, was die Aufgabe verlangt, direkt zu verraten: Was in diesem Term gegenüber dem auf der linken Seite zu viel ist, wird in der zweiten Summe auf der rechten Seite wieder abgezogen, wenn man scharf hinschaut Augenzwinkern
 
 
legendany Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo magic_hero,

danke für deine Antwort. Ich komme leider seit einer Stunde immer noch nicht weiter.

ist ja
und ausgeschrieben ist ja .

Auf der rechten Seite der Gleichung steht meiner Meinung nach viel zu viel. Ich hab bestimmt irgendwo einen Denkfehler drin. Bitte um Hilfestellung.
legendany Auf diesen Beitrag antworten »

Hat sich erledigt...
legendany Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, doch nicht.

Die rechte Seite ausgeschrieben sieht ja so aus:

.

So weit, so gut... Jetzt ist doch bei nur der letzte Summand brauchbar und der Teil davor () muss doch irgendwo subtrahiert werden. Das passiert aber nirgends. Anstelle davon werden irgendwelche (okay, der letzte stimmt sogar) subtrahiert. Stehe total auf'm Schlauch. unglücklich
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es hat wenig Zweck, wenn du dir das mit "Pünktchen, Pünktchen"-Arithmetik klarmachen willst, offenbar fehlen ja rechts bei dir eine ganze Menge Terme. unglücklich

Schreib dir lieber die Behauptung mal für kleine n auf, z.B. n=1, n=2, vielleicht noch n=3, da lernst du viel mehr.

Ansonsten ist die Sache hier so übersichtlich, dass du auch gleich zum Induktionsbeweis übergehen kannst.
legendany Auf diesen Beitrag antworten »

Für n=2 kommt bei mir folgendes raus:



Ich fühle mich dumm unglücklich
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Links:

Rechts:

Rechts "kürzen" sich natürlich einige + und -Terme gegenseitig weg.
legendany Auf diesen Beitrag antworten »

Ohje, ich hatte das zu früh ersetzt... Danke. Ich wusste, dass es an so einem dummen Fehler liegt.
legendany Auf diesen Beitrag antworten »

Induktionsbeweis:

Induktionsanfang: Aussage stimmt für n=1

Induktionsschritt: Es gelte die obige Gleichung. Zeige Aussage für n+1:

.

Nun komme ich nicht weiter, da die Summationsgrenzen unterschiedlich sind und ich auch nicht weiß, wie ich sie auf die gleichen bringe. Wieder ein Fehler meinerseits?
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Dein erstes Ziel sollte nicht sein, den Term in einen scheinbar schöneren umzuformen, sondern so, dass du die Induktionsvoraussetzung benutzen kannst. Mir persönlich scheint es auf den ersten Blick etwas leichter, mit der linken Seite anzufangen, daher würde ich dir empfehlen, die linke Seite so umzuformen, dass du die Induktionsvoraussetzung verwenden kannst, und danach mit dem Umformen fortzufahren.

PS: In deinem letzten Beitrag fehlt nach dem ersten Summenzeichen die Klammerung, das aber nur nebenbei.

PPS: Der Induktionsanfang sollte mit n=0 gemacht werden.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht übrigens auch eine direkte Variante, d.h. ohne Induktion. Man beginnt mit dem rechten Term und formt ihn solange um, bis der linke erscheint - hier der Anfang:



In der Summe ganz rechts wurde eine Indexverschiebung vorgenommen. Für kann man nun die beiden Summen wieder zusammenfassen und dabei nutzen, muss aber aufpassen, dass die beiden Summen verschiedene Indexbereiche überstreichen, d.h. an den "Enden" ist einiges zu korrigieren (auslagern/einbinden oder beides).
legendany Auf diesen Beitrag antworten »

@magic_hero: Aber wenn ich den Induktionsanfang mit n=0 durchführe, geht die Summationsgrenze auf der rechten seite von k=0 bis n=-1. Das geht doch nicht, oder?

@HAL 9000: Danke, ich werde es so versuchen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von legendany
@magic_hero: Aber wenn ich den Induktionsanfang mit n=0 durchführe, geht die Summationsgrenze auf der rechten seite von k=0 bis n=-1. Das geht doch nicht, oder?

Eigentlich nicht, ja. Allerdings betrachtet man sowas oft als "leere" Summe, d.h. ohne Summanden, und legt deren Wert vereinbarungsgemäß als 0 fest.

Und lass dich nicht wegen dieser kleinen Sache vom Induktionsbeweis abhalten - der andere Weg kann auch seine Tücken haben und ist von der Schwierigkeit vergleichbar (d.h. nicht leichter).
legendany Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich hab die vollständige Induktion gewählt.

Ich bin jetzt so weit:



Ich weiß nicht weiter... Tut mir echt leid, so langsam nerve ich euch bestimmt. unglücklich Soll ich die Summe aufteilen oder macht das keinen Sinn? Oder kann ich jetzt schon was zusammenfassen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist . Das kann man auch umstellen zu . Augenzwinkern
legendany Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich habs geschafft.



Müsste stimmen, oder?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Freude
legendany Auf diesen Beitrag antworten »

Das war 'ne schwere Geburt. Dabei ist es gar nicht so schwer... Aber das merkt man erst danach. Vielen Dank!
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