Fehler in Aufgabenstellung? (Analysis)

18.10.2015, 20:38

legendany

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Fehler in Aufgabenstellung? (Analysis)

Meine Frage:
Ich habe folgende Aufgabenstellung:

Es seien $\begin{eqnarray*} a_{0},..., a_{n}, b_{0},..., b_{n} \in \end{eqnarray*}$ C (komplexe Zahlenmenge) und $\begin{eqnarray*} A_{k} := a_{0} + ... + a_{k} \end{eqnarray*}$ für k = 0,..., n. Zeigen Sie:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} a_{k}b_{k} = A_{n}b_{n} + \sum\limits_{k=0}^{n-1} A_{k}(b_{k}-b_{k+1}) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Muss das erste $\begin{eqnarray*} A_{n} \end{eqnarray*}$ (das bei $\begin{eqnarray*} A_{n}b_{n} \end{eqnarray*}$ ) nicht ein $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ sein, oder täusche ich mich? Danke im Voraus.

18.10.2015, 20:44

magic_hero

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Du täuscht dich. Um jetzt nicht alles, was die Aufgabe verlangt, direkt zu verraten: Was in diesem Term gegenüber dem auf der linken Seite zu viel ist, wird in der zweiten Summe auf der rechten Seite wieder abgezogen, wenn man scharf hinschaut Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.10.2015, 21:42

legendany

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Hallo magic_hero,

danke für deine Antwort. Ich komme leider seit einer Stunde immer noch nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} a_{k}b_{k} \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} a_{0}b_{0} + ... + a_{n}b_{n} \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} A_{n}b_{n} + \sum\limits_{k=0}^{n-1} A_{k}(b_{k} - b_{k+1}) \end{eqnarray*}$ ausgeschrieben ist ja $\begin{eqnarray*} a_{0}b_{n} + ... + a_{n}b_{n} + a_{0}b_{0} + a_{0}b_{1} + ... + a_{n-1}b_{n-1} + a_{n-1}b_{n} \end{eqnarray*}$ .

Auf der rechten Seite der Gleichung steht meiner Meinung nach viel zu viel. Ich hab bestimmt irgendwo einen Denkfehler drin. Bitte um Hilfestellung.

18.10.2015, 22:20

legendany

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Hat sich erledigt...

18.10.2015, 22:55

legendany

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Okay, doch nicht.

Die rechte Seite ausgeschrieben sieht ja so aus:

$\begin{eqnarray*} a_{0}b_{n} + a_{1}b_{n} + ... + a_{n}b_{n} (= A_{n}b_{n}) + a_{0}b_{0} - a_{0}b_{1} + a_{1}b_{1} - a_{}1b_{2} + ... + a_{n-1}b_{n-1} - a_{n-1}b_{n} \end{eqnarray*}$ .

So weit, so gut... Jetzt ist doch bei $\begin{eqnarray*} A_{n}b_{n} \end{eqnarray*}$ nur der letzte Summand $\begin{eqnarray*} a_{n}b_{n} \end{eqnarray*}$ brauchbar und der Teil davor ( $\begin{eqnarray*} a_{0}b_{n},... a_{n-1}b_{n} \end{eqnarray*}$ ) muss doch irgendwo subtrahiert werden. Das passiert aber nirgends. Anstelle davon werden irgendwelche $\begin{eqnarray*} a_{0}b_{1},..., a_{n-1}b_{n} \end{eqnarray*}$ (okay, der letzte stimmt sogar) subtrahiert. Stehe total auf'm Schlauch. unglücklich

unglücklich

18.10.2015, 23:05

HAL 9000

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Es hat wenig Zweck, wenn du dir das mit "Pünktchen, Pünktchen"-Arithmetik klarmachen willst, offenbar fehlen ja rechts bei dir eine ganze Menge Terme. unglücklich

unglücklich

Schreib dir lieber die Behauptung mal für kleine n auf, z.B. n=1, n=2, vielleicht noch n=3, da lernst du viel mehr.

Ansonsten ist die Sache hier so übersichtlich, dass du auch gleich zum Induktionsbeweis übergehen kannst.

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18.10.2015, 23:35

legendany

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Für n=2 kommt bei mir folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} a_{0}b_{0}a_{1}b_{1}a_{2}b_{2} = a_{0}b_{2} + a_{2}b_{2} + a_{0}b_{0} - a_{0}b_{1} + a_{1}b_{1} \end{eqnarray*}$

Ich fühle mich dumm unglücklich

unglücklich

18.10.2015, 23:53

HAL 9000

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Links: $\begin{align*} a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2 \end{align*}$

Rechts: $\begin{align*} A_2b_2 + A_0b_0 - A_0b_1 + A_1b_1 - A_1b_2 = (a_0+a_1+a_2)b_2 + a_0b_0 - a_0b_1 + (a_0+a_1)b_1 - (a_0+a_1)b_2 \end{align*}$

Rechts "kürzen" sich natürlich einige + und -Terme gegenseitig weg.

19.10.2015, 00:01

legendany

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Ohje, ich hatte das $\begin{eqnarray*} A_{k} \end{eqnarray*}$ zu früh ersetzt... Danke. Ich wusste, dass es an so einem dummen Fehler liegt.

19.10.2015, 00:56

legendany

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Induktionsbeweis:

Induktionsanfang: Aussage stimmt für n=1

Induktionsschritt: Es gelte die obige Gleichung. Zeige Aussage für n+1:

$\begin{eqnarray*} A_{n+1}b_{n+1} + \sum\limits_{k=0}^{n} A_{k}b_{k}-b_{k+1} = A_{n+1}b_{n+1} + \sum\limits_{k=0}^{n} A_{k}b_{k} - \sum\limits_{k=0}^{n} A_{k}b_{k+1} = \sum\limits_{k=0}^{n+1} A_{k}b_{k} - \sum\limits_{k=0}^{n} A_{k}b_{k+1} \end{eqnarray*}$ .

Nun komme ich nicht weiter, da die Summationsgrenzen unterschiedlich sind und ich auch nicht weiß, wie ich sie auf die gleichen bringe. Wieder ein Fehler meinerseits?

19.10.2015, 10:54

magic_hero

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Dein erstes Ziel sollte nicht sein, den Term in einen scheinbar schöneren umzuformen, sondern so, dass du die Induktionsvoraussetzung benutzen kannst. Mir persönlich scheint es auf den ersten Blick etwas leichter, mit der linken Seite anzufangen, daher würde ich dir empfehlen, die linke Seite so umzuformen, dass du die Induktionsvoraussetzung verwenden kannst, und danach mit dem Umformen fortzufahren.

PS: In deinem letzten Beitrag fehlt nach dem ersten Summenzeichen die Klammerung, das aber nur nebenbei.

PPS: Der Induktionsanfang sollte mit n=0 gemacht werden.

19.10.2015, 13:04

HAL 9000

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Es geht übrigens auch eine direkte Variante, d.h. ohne Induktion. Man beginnt mit dem rechten Term und formt ihn solange um, bis der linke erscheint - hier der Anfang:

$\begin{align*} A_nb_n + \sum_{k=0}^{n-1} A_k(b_k-b_{k+1}) = A_nb_n + \sum_{k=0}^{n-1} A_kb_k - \sum_{k=0}^{n-1} A_kb_{k+1} = A_nb_n + \sum_{k=0}^{n-1} A_kb_k - \sum_{k=1}^n A_{k-1}b_k \end{align*}$

In der Summe ganz rechts wurde eine Indexverschiebung vorgenommen. Für $\begin{align*} k\geq 1 \end{align*}$ kann man nun die beiden Summen wieder zusammenfassen und dabei $\begin{align*} A_k-A_{k-1}=a_k \end{align*}$ nutzen, muss aber aufpassen, dass die beiden Summen verschiedene Indexbereiche überstreichen, d.h. an den "Enden" ist einiges zu korrigieren (auslagern/einbinden oder beides).

19.10.2015, 21:27

legendany

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@magic_hero: Aber wenn ich den Induktionsanfang mit n=0 durchführe, geht die Summationsgrenze auf der rechten seite von k=0 bis n=-1. Das geht doch nicht, oder?

@HAL 9000: Danke, ich werde es so versuchen.

19.10.2015, 21:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von legendany
@magic_hero: Aber wenn ich den Induktionsanfang mit n=0 durchführe, geht die Summationsgrenze auf der rechten seite von k=0 bis n=-1. Das geht doch nicht, oder?

Eigentlich nicht, ja. Allerdings betrachtet man sowas oft als "leere" Summe, d.h. ohne Summanden, und legt deren Wert vereinbarungsgemäß als 0 fest.

Und lass dich nicht wegen dieser kleinen Sache vom Induktionsbeweis abhalten - der andere Weg kann auch seine Tücken haben und ist von der Schwierigkeit vergleichbar (d.h. nicht leichter).

19.10.2015, 22:45

legendany

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Okay, ich hab die vollständige Induktion gewählt.

Ich bin jetzt so weit:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} a_{k}b_{k} = a_{n+1}b_{n+1} + \sum\limits_{k=0}^{n} = a_{n+1}b_{n+1} + A_{n}b_{n} + \sum\limits_{k=0}^{n-1} A_{k}(b_{k}-b_{k+1}) \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht weiter... Tut mir echt leid, so langsam nerve ich euch bestimmt. unglücklich

unglücklich

Soll ich die Summe aufteilen oder macht das keinen Sinn? Oder kann ich jetzt schon was zusammenfassen?

19.10.2015, 22:49

HAL 9000

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Es ist $\begin{align*} A_{n+1}=A_n+a_{n+1} \end{align*}$ . Das kann man auch umstellen zu $\begin{align*} a_{n+1}=A_{n+1}-A_n \end{align*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.10.2015, 23:20

legendany

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Ich glaube ich habs geschafft.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} a_{k}b_{k} = a_{n+1}b_{n+1} + \sum\limits_{k=0}^{n} a_{k}b_{k} = a_{n+1}b_{n+1} + A_{n}b_{n} + \sum\limits_{k=0}^{n-1} A_{k}(b_{k}-b_{k+1}) = (A_{n+1} - A_{n})b_{n+1} + A_{n}b_{n} + \sum\limits_{k=0}^{n-1} A_{k}(b_{k}-b_{k+1}) = A_{n+1}b_{n+1} - A_{n}b_{n+1} + A_{n}b_{n} + \sum\limits_{k=0}^{n-1} A_{k}(b_{k}-b_{k+1}) = A_{n+1}b_{n+1} + \sum\limits_{k=0}^{n} A_{k}(b_{k}-b_{k+1})<br /> \end{eqnarray*}$

Müsste stimmen, oder?

19.10.2015, 23:25

HAL 9000

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Ja.

Freude

19.10.2015, 23:33

legendany

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Das war 'ne schwere Geburt. Dabei ist es gar nicht so schwer... Aber das merkt man erst danach. Vielen Dank!

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