Total beschränkt

19.10.2015, 03:46	91Matt19	Auf diesen Beitrag antworten »
Total beschränkt Man gebe an, ob $\begin{eqnarray} \Phi \subseteq C(K, \mathbb{R} ) \end{eqnarray}$ total beschränkt ist, wobei: a) K= [0,1] und $\begin{eqnarray} \Phi = \{ (t \mapsto t^n ): n \in \mathbb{N} \} \end{eqnarray}$ b) K= [0,1] und $\begin{eqnarray} \Phi = \{ f \in C(K, \mathbb{R} ): \|\|f\|\|_{\infty} \leq 1 \} \end{eqnarray}$ c) K= [0,1] und $\begin{eqnarray} \Phi = \{ (t \mapsto \frac{t^n}{n} ): n \in \mathbb{N} \} \end{eqnarray}$ d) K= [0,2] und $\begin{eqnarray} \Phi = \{ (t \mapsto \frac{t^n}{n} ): n \in \mathbb{N} \} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: a) $\begin{eqnarray} sup \{ \|f(x)\|: f \in \Phi \} = 1 \Rightarrow \end{eqnarray}$ punktweise beschränkt Mit der gleichgradigen Stetigkeit habe ich aber Probleme... b) sollte schon aus a) folgen (falls ich es schaffe zu zeigen, dass a) nicht total beschränkt ist), da $\begin{eqnarray} \{ (t \mapsto t^n ): n \in \mathbb{N} \} \subseteq \{ f \in C(K, \mathbb{R} ): \|\|f\|\|_{\infty} \leq 1 \} \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} sup_{t \in [0,1]} \frac{t^n}{n} = \frac{1}{n} \leq 1 \Rightarrow \end{eqnarray}$ punktweise beschränkt Sei $\begin{eqnarray} \epsilon >0 , n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \delta := \epsilon > \|x-t\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x, t \in [0,1] \Rightarrow \|f(x) - f(t)\| = \| \frac{x^n}{n} - \frac{t^n}{n} \| = \frac{1}{n} \|(x-t) \sum_{k=0}^{n-1} x^k t^{n-k+1} \| \leq \frac{n-1}{n} \|x-t\| < \delta = \epsilon \Rightarrow \end{eqnarray}$ gleichgradig stetig Also ist $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ total beschränkt. d) $\begin{eqnarray} sup_{t \in [0,2]} \frac{t^n}{n} = \frac{2^n}{n} \to + \infty \Rightarrow \end{eqnarray*}$ nicht punktweise beschränkt
19.10.2015, 07:55	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Total beschränkt Sieht gut aus. Zu a) bemerke, dass $\begin{eqnarray} C(K, \mathbb R) \end{eqnarray}$ ein Banachraum ist, und damit aus $\begin{eqnarray} \Phi \subset C(K, \mathbb R) \end{eqnarray}$ präkompakt folgt, dass $\begin{eqnarray} \overline \Phi \end{eqnarray}$ kompakt ist. D.h. jede Folge $\begin{eqnarray} f_k \end{eqnarray}$ (in unserem beschränkten $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ ) besitzt ein $\begin{eqnarray} f \in C(K, \mathbb R) \end{eqnarray}$ und eine Teilfolge $\begin{eqnarray} (k_l) \end{eqnarray}$ s.d. $\begin{eqnarray} f_{k_l} \to f \end{eqnarray}$ gleichmäßig(!). Wenn du eine Folge angeben kannst, die keine konvergente Teilfolge in $\begin{eqnarray} C(K, [0,1]) \end{eqnarray}$ besitzt, bist du also fertig. Edit: Ich verwende "präkompakt" synonym zu "total beschränkt", auch wenn es nur in Banachräumen das gleiche ist (ich möchte einfach nicht in einer Welt ohne Banachräume leben )
19.10.2015, 15:33	91Matt19	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich t=1 wähle, hätte ich $\begin{eqnarray} t^n = 1^n = 1 \end{eqnarray}$ und die konstante 1-Folge besitzt sicher keine konvergente Teilfolge...würde das funktionieren?
19.10.2015, 16:00	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst eine Folge von Funktionen finden, keine Folge von Zahlen. Und die konstante 1-Folge konvergiert, recht unüberraschend, gegen 1... Also sei $\begin{eqnarray} f_n(t) = ... \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f_n \in \Phi \end{eqnarray}$ für alle n.
20.10.2015, 13:23	91Matt19	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ja natürlich, stimmt, das mit 1 war ein Blödsinn...aber ich finde keine Folge, die nicht konvergent ist... $\begin{eqnarray} t^n \end{eqnarray}$ ist ja für alle $\begin{eqnarray} t \in [0,1] \end{eqnarray}$ konvergent...
21.10.2015, 17:27	91Matt19	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir irgendwer bitte helfen? Ich verstehe nicht, wie es eine solche Folge geben kann....
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21.10.2015, 22:14	IfindU Gast	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil ich am smartphone bin, nur kurz: deine Folge konvergiert punktweise, das stimmt. Die Folge muss aber gleichmäßig konvergieren!
22.10.2015, 13:24	91Matt19	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, jetzt versteh ichs! Danke!

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