Bernoulli - Varianzschätzer - Asymptotik

19.10.2015, 18:30	Necross	Auf diesen Beitrag antworten »
Bernoulli - Varianzschätzer - Asymptotik Angabe: $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ seien iid Bernoulli(p)-verteilt Betrachte den Schätzer $\begin{eqnarray} V_n=\bar{X}(1-\bar{X}) \end{eqnarray}$ für die Varianz (=p(1-p)). Gefragt ist die asymptotische Verteilung dieses Schätzers. So weit bin ich gekommen: Mit dem zentralen Grenzwertsatz und der Delta-Methode gelingt es mir die asymptotische Verteilung von $\begin{eqnarray} \sqrt{n}(V_n-p(1-p)) \end{eqnarray}$ zu berechnen, welche im Fall von p ungleich 1/2 nicht degeneriert ist. Im Fall p=1/2 geht die Varianz des skalierten Schätzers immer noch gegen 0. Ich konnte errechnen, das in diesem Fall der Schätzer mit n multipliziert werden muss, damit sich die asymptotische Varianz stabilisiert. Nur habe ich jetzt keine Idee, wie ich die asymptotische Verteilung von $\begin{eqnarray} n(V_n-p(1-p)) \end{eqnarray*}$ ausrechnen kann. Danke für jede Hilfe im Voraus!
19.10.2015, 19:36	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, erstmal $\begin{align} p=\frac{1}{2} \end{align}$ einsetzen: $\begin{align} W_n:=n(V_n-p(1-p)) = n\left(\bar{X}(1-\bar{X})-\frac{1}{4}\right) = -n\left(\bar{X}-\frac{1}{2}\right)^2 = -Y_n^2 \end{align}$ mit $\begin{align} Y_n := \sqrt{n}\left(\bar{X}-\frac{1}{2}\right) \end{align}$ , was asymptotisch $\begin{align} \mathcal{N}\left(0,\frac{1}{4}\right) \end{align}$ -verteilt ist. Damit müsste $\begin{align} -4W_n = n\left(1-4\bar{X}(1-\bar{X})\right) \end{align}$ asymptotisch $\begin{align} \chi^2_1 \end{align}$ -verteilt sein, oder?
20.10.2015, 10:04	Necross	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhh. Ja stimmt genau. Vielen Dank

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