Ungleichung mit zwei quadratischen Termen

19.10.2015, 19:20	mindshifting	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung mit zwei quadratischen Termen Meine Frage: Hallo, bei folgender Aufgabe ich Probleme: $\begin{eqnarray} (x^2+4x-5)(x^2-4)>0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich bin die Aufgabe folgendermaßen angegangen: Wenn der Ausdruck wahr sein soll, dann müssen beide quadratischen Terme entweder positiv oder negativ sein. Also habe ich eine Fallunterscheidung gemacht: 1. Fall $\begin{eqnarray} (x^2+ax-5)>0\wedge (x^2-4)>0 \end{eqnarray}$ Dort bin ich auf folgende Intervalle gekommen: Für $\begin{eqnarray} (x^2+ax-5)>0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} x\in (-\infty ,-5) \wedge (1,+\infty ) \end{eqnarray}$ Und für $\begin{eqnarray} (x^2-4)>0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} x\in (-\infty ,-2) \wedge (2,+\infty ) \end{eqnarray}$ Im 2. Fall $\begin{eqnarray} (x^2+ax-5)<0\wedge (x^2-4)<0 \end{eqnarray}$ , die jeweils umgekehrten Intervalle also: $\begin{eqnarray} (-5,1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (-2,2) \end{eqnarray}$ Unabhängig davon ob das jetzt richtig ist, habe ich jetzt Probleme bei der endgültigen Angabe der Lösungsmenge bzw. beim Zusammenführen der einzelnen Intervalle. Bin euch dankbar für eure Hilfe
19.10.2015, 19:28	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso machst du dir nicht eine Skizze mit einem Zahlenstrahl?
19.10.2015, 19:45	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das "und" oben ist in einen Schnitt der jeweiligen Mengen zu übersetzen! ---------------------------- Etwas anders betrachtet: Basierend auf $\begin{align} x^2+4x-5 = (x+5)(x-1) \end{align}$ und $\begin{align} x^2-4=(x+2)(x-2) \end{align}$ und die Linearfaktoren passend angeordnet haben wir die Ungleichung $\begin{align} (x+5)(x+2)(x-1)(x-2) > 0 \end{align}$ . Bei den vier Nullstellen -5, -2, 1, 2 findet jeweils ein Vorzeichenwechsel des Terms links statt - was eine sofortige Nennung der Lösungsintervalle ermöglicht.
19.10.2015, 19:49	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Weg ist natürlich eleganter. Meine hingeschmierte Skizze sieht so aus:
19.10.2015, 22:34	mindshifting	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal für die Antworten und die damit verbundenen Mühen. Auf die Gefahr hin, dass dies eventuelle eine blöde Frage ist: Wenn der Gesamtintervall die Schnittmenge der einzelnen Intervalle, dann verstehe ich noch nicht ganz warum man manchmal die Vereinigung von Mengen/ Intervallen als Lösungsmenge angibt und manchmal, wie in diesem Fall, die Schnittmenge..
19.10.2015, 22:48	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösungsmenge ist sicherlich nicht die Schnittmenge meiner 3 Intervalle (das wäre wohl sonst die leere Menge), sondern die Vereinigung. $\begin{eqnarray} \mathbb{L}=(-\infty;-5) \cup (-2;1) \cup (2; \infty) \end{eqnarray}$
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19.10.2015, 23:30	mindshifting	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hab ich es verstanden Das mit den Schnittmengen hat sich auf die Intervallzusammenfassung innerhalb der Fälle bezogen, nachher muss ich die natürlich zur Lösungsmenge vereinigen. Danke!!

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