LinA1, Anwendung Gruppen und Potenzen mit e=1

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Desperate85 Auf diesen Beitrag antworten »
LinA1, Anwendung Gruppen und Potenzen mit e=1
Meine Frage:
Hallo ihr Lieben,

ich bin ganz neu hier und auch an der Uni und verzweifle gerade bei einer Übungsaufgabe meines ersten Übungsblattes und hoffe, dass ihr mir bei meinen bisherigen Ansätzen weiterhelfen könnt.

Die Aufgabe lautet:

Sei (G,?) eine abelsche Gruppe mit ord(G)=n, n ist Element N und neutralem Element 1,e ist Element von G. Zeigen Sie, dass für alle a Element G gilt:

an:=a?a?a...?a=1 (wobei bei a?a?a...?a das a n-mal vorhanden sein soll).

Wie muss ich hier vorgehen? Ich habe mir bisher folgendes überlegt:

1. n=0, denn an=1=e, laut Potenzgesetz geht das ja nur bei n=0
2. an?a?n=1

Ich weiß nur einfach nicht, ob mir das weiter hilft und wie ich die oben genannte Aussage beweisen kann unglücklich

Bin für jeden Tipp wirklich dankbar!

Meine Ideen:
1. n=0, denn an=1=e, laut Potenzgesetz geht das ja nur bei n=0
2. an?a?n=1

Wir haben noch KEINE zyklischen Gruppen behandelt, allerdings den Satz von Lagrange zuletzt bewiesen (habe ich aber leider nicht ganz nachvollziehen können)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Schreibweise ist noch nicht ganz so, wie sie sein soll, daran musst Du noch erheblich arbeiten. Deine Ideen sind falsch.
Ich ahne trotzdem, was Du beweisen möchtest, nämlich .

Betrachte . Beweise, dass eine Untergruppe von ist. Beweise . Benutze den Satz von Lagrange, um die Behauptung zu beweisen.
Nebenbei bemerkt ist eine zyklische Gruppe, und die Ordnung von nennt man auch die Ordnung von .
Desperate85 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Elvis,

vielen Danke für deine Hilfe.

Ich glaube, ich kann zwar nachvollziehen, was du meinst, aber ich bin so planlos, dass ich nicht weiß, wie ich anfangen soll zu rechnen.

1. Kann ich einfach "bestimmen" H sei Untergruppe von G und habe die Form a^m?
2. Wenn ich beweisen möchte, dass H wirklich eine Untergruppe von G ist, sind das dann die richtigen Kriterien: Assoziativität, neutrales Element (gleich wie bei G), inverses Element?

Ich habe jetzt folgendes aufgeschrieben:

Sei G eine abelsche Gruppe mit n Elementen, also:
G= {a1, a2,...,an} und sei ord(G)=n , n ist Element N , e=1 ist Element G.

Es ist zu zeigen, dass ai^n=1 gilt mit i=1,2,...,n (i ist ein Indizes, ich weiß aber nicht, wie man das hier richtig eintippt).

Sei U eine Untergruppe von G für die gilt:
Es ist zu beweisen, dass U Untergruppe von G ist:

G1: Assoziativität:
(a1*a2)*a3=a1*(a2*a3)

G2: Neutrales Element:
a^m*e=a^m
e=1

G3: Inverses Element:
a^m*a^-m=e

U ist also Untergruppe von G, U hat die Ordnung m.

Nach dem Satz von Lagrange teilt ord(U) nun also die ord(G), bedeutet also in meinem Fall:

m teilt n, also m/n, welches auch Element von N sein müsste.

So...und nun weiß ich nicht weiter unglücklich
Desperate85 Auf diesen Beitrag antworten »

Ergänzung:

n= m * r

damit gilt:

a^n= a^r*m=a^m*r=(a^m)^r=e^r=e
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht, wieso hier G als abelsche Gruppe vorausgesetzt wird, das aber nur so als Randbemerkung.

Zitat:
Original von Desperate85
Sei U eine Untergruppe von G für die gilt:
Es ist zu beweisen, dass U Untergruppe von G ist:


Du kannst nicht U als Untergruppe voraussetzen, wenn Du es beweisen möchtest. U ist eine Menge, beweise dass U eine Gruppe ist.
Dein Beweis ist nicht gut. Du musst mit den Potenzen von a argumentieren. assoziativ ist dann nicht schwer zu zeigen. Woher weißt Du denn, dass e in U liegt ? gibt es nicht, weil für .

Die Ergänzung sieht schon sinnvoller aus. Du kannst aber m nicht verwenden, m ist ein Index, m ist nicht die Ordnung von U.
Desperate85 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe echt noch große Probleme, mit dem Beweisen der Gruppenaxiome unglücklich

Kannst du mir da vielleicht helfen?

Das mit m habe ich verstanden: -m ist kein Element von N. Kann ich denn statt a^m (a^-1)^m schreiben, um das Problem zu umgehen?
 
 
Desperate85 Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der Ordnung habe ich jetzt erst gelesen traurig

Aber was ist dann die Ordnung von U?

Wenn ich U doch definiert habe als eine Menge mit U={a1, a2,...,am} und nachweisen werde, dass es sich um eine Untergruppe von G handelt?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du verstehst anscheinend nicht, was ist.
ist ein beliebig, aber fest gewähltes Element der Gruppe . Dann ist die Menge aller mit . Zu den natürlichen Zahlen gehört hier nicht und schon gar nicht . (Wo hast Du zählen gelernt ? Augenzwinkern )

ist eine endliche Gruppe mit Elementen, also können nicht alle Potenzen paarweise verschieden sein, also hat die Menge nur Elemente.
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