Gleichung richtig/ Probe falsch

19.10.2015, 22:23	Greeni	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung richtig/ Probe falsch Meine Frage: Einen schönen guten Abend. Vor kurzem hab ich eine Gleichung gesehen welche recht einfach zu lösen war. Ich weiß sie leider nicht mehr auswendig, jedoch war dabei ein Teil mit Wurzel(x) welcher sich im laufe der Rechnung rauskürzen ließ. Auf alles Fälle war die Gleichung richtig nach x gelöst, jedoch kam bei der Probe etwas Falsches heraus. Wie kann das sein? Lg Greeni Meine Ideen: vl weil sich der ausdruck wurzel(x) herauskürzen lies?
19.10.2015, 22:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Lass mich mal raten: Irgendwann im Verlaufer deiner Umformungen hast du mal quadriert, was i.a. keine Äquivalenzumformung ist. Ist mindestens eine deiner Umformungen keine Äquivalenzumformung, sondern "nur" eine einfache Implikation, so ist eine Probe zwingend erforderlich - wie du siehst, war es bei dir auch bitter nötig.
19.10.2015, 22:52	Greeni	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, danke für die Antwort. Jetzt wo du es sagst dämmert mir ganz dunkel etwas, ist aber schon ewig her. Kann man irgendwie darauf eingehen, sodass man auf die "echte" Lösung kommen würde? Beispielsweise über Komplexe Zahlen? mfg Greeni
19.10.2015, 22:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst: "Wann kann man auf die Probe verzichten?" Nun, ganz einfach: Wenn jede deiner Umformungen eine Äquivalenzumformung ist. Bei Quadrierungen heißt das z.B., dass du absichern musst, dass beide Seiten entweder $\begin{align} \geq 0 \end{align}$ oder beide Seiten $\begin{align} \leq 0 \end{align}$ sind, notfalls durch Fallunterscheidung. Zeige doch mal deine Gleichung bzw. zumindest den letzten Schritt vor der Quadrierung!
19.10.2015, 23:02	Greeni	Auf diesen Beitrag antworten »
wie bereits gesagt weis ich sie nicht mehr genau. Hab sie vor kurzem Mal bei jemand anderem gesehen und wollte Interessehalber nachfragen. (x-3)^(1/2)=(x+8)^(1/2)+1 ich glaub so ähnlich ging sie. (zumindest ist die Probe wieder Falsch)
19.10.2015, 23:17	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Also Gleichung $\begin{align} \sqrt{x-3} = \sqrt{x+8} + 1 \end{align}$ . Zunächst mal halten wir mal fest: Es muss $\begin{align} x\geq 3 \end{align}$ sein, damit nix negatives unter den Wurzeln steht. Ist nun aber $\begin{align} x\geq 3 \end{align}$ , so stehen in () tatsächlich nur Werte $\begin{align} \geq 0 \end{align}$ auf beiden Seiten, hier kann man also gefahrlos quadrieren: $\begin{align} x-3 = x+8 + 2\sqrt{x+8} + 1\qquad \Bigm\| -x-9 \end{align}$ $\begin{align} -12 = 2\sqrt{x+8} \end{align}$ . Und hier ist Schluss: Links steht was $\begin{align} <0 \end{align}$ , rechts was $\begin{align} \geq 0 \end{align}$ , das kann unmöglich gleich sein. Hier jetzt noch blind zu quadrieren wäre einfach nur Zeitverschwendung... EDIT: Mit noch besseren "Blick" weiß man, dass die Wurzelfunktion streng monoton wachsend ist, daher ist $\begin{align} \sqrt{x-3} < \sqrt{x+8} < \sqrt{x+8} + 1 \end{align*}$ , womit sich sofort die Ausgangsgleichung erledigt hat.
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20.10.2015, 07:01	Greeni	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die gute Erklärung Ich hab jetzt verstanden warum, wieso.

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