Kombinatorik Gitternetz Formel

20.10.2015, 10:37

Bobby16

Kombinatorik Gitternetz Formel

Meine Frage:
Ich soll folgende Formel beweisen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} ^2 = \begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Habe gedacht ich versuche es mit Induktion:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\i \end{pmatrix} ^2 =\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n+1 \\i \end{pmatrix} ^2 +\frac{n+1}{n+1}^2 = 1+\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n+1 \\i \end{pmatrix} ^2 = 1+\sum\limits_{k=0}^{n} \frac{(n+1)!}{i! (n+1-i)!}) ^2= 1+\sum\limits_{k=0}^{n} (\frac{(n+1)n!}{ i! (n+1-i)!})^2= 1+\sum\limits_{k=0}^{n} (\frac{n+1}{n+1-i})^2 \begin{pmatrix} n \\ i\end{pmatrix} ^2 \end{eqnarray*}$

und hier komm ich nicht weiter, da ich den vorderen Term ja nicht aus der Summe ziehen darf.

20.10.2015, 11:51

Math1986

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RE: Kombinatorik Gitternetz Formel

Zitat:

Original von Bobby16
Meine Frage:
Ich soll folgende Formel beweisen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix} ^2 = \begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was ist auf der linken Seite der Laufindex?

20.10.2015, 16:05

Bobby16

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RE: Kombinatorik Gitternetz Formel
oh sorry hab das vergessen auszubessern, k=i

20.10.2015, 20:14

HAL 9000

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Tatsächlich gilt sogar das weit allgemeinere $\begin{align*} \sum_{k=0}^n \binom{\alpha}{k}\binom{\beta}{n-k} = \binom{\alpha+\beta}{n} \end{align*}$ für beliebige reelle $\begin{align*} \alpha,\beta \end{align*}$ sowie $\begin{align*} n\in\mathbb{N}_0 \end{align*}$ ,
beweisbar durch Induktion über $\begin{align*} n \end{align*}$ oder (bei Kenntnis der Binomialreihe) auch per Koeffizientenvergleich.

Was hier vorliegt, ist der Spezialfall $\begin{align*} \alpha=\beta=n \end{align*}$

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