Umgang mit Nebenklassen

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acsyc Auf diesen Beitrag antworten »
Umgang mit Nebenklassen
Meine Frage:
Hallo Leute, ich hab da eine Aufgabe die eigentlich banal aussieht, aber irgendwie fehlt mir ein Ansatz:

Sei G eine Gruppe, H eine Untergruppe von G und a,b sind Elemente von G
Aufgabe: Zeigen sie, dass die folgenden Aussagen gleichwertig sind:
1) a ist Element von H*b
2) b ist Element von H*a
3) H*a = H*b

Meine Ideen:
Also H*a und H*b sollen Nebenklassen sein.
Da die 3 Aussagen gleichwertig sein sollen, dachte ich an einen Ringbeiweis.
Ich würde also so anfangen:
z.z.: a ist Element von H*B => b ist Element von H*a
Wenn a ein Element von h*b ist, gilt doch folgendes:
H*b = (x*b , x ist Element von H), die runden Klammern sollen Mengenklammern sein. Dann wäre also a = b*x
An diese Stelle komm ich nicht weiter.
Wäre froh über ein paar Denkanstöße
Automizer Auf diesen Beitrag antworten »

Dieses x ist ja ein Gruppenelement, also besitzt es eine tolle Eigenschaft, die man bei der Gleichung a=xb anwenden kann. Im Übrigen heißt es im Allgemeinen nicht a=bx, wenn a=xb.
acsyc Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, danke dir erst mal für die schnelle antwort.
Aber ich glaub ich steh total auf dem Schläuche mit welcher Eigenschaft ich jetzt was machen kann.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von acsyc
Aber ich glaub ich steh total auf dem Schläuche mit welcher Eigenschaft ich jetzt was machen kann.


Jedes Gruppenelement einer UG hat ein Inverses innerhalb der UG.
acsyc Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also ich versuch mal folgendes:
Sei a ein element von H*b.
=> a=x*b
=> a*x^-1=x*b*x^-1
=> a*x^-1=b
=> b ist Element von H*a
Bin ich da grundsätzlich auf dem richtigen weg?
Automizer Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo acsyc,

du musst aufpassen, in welcher Reihenfolge du die Gruppenelemente miteinander verknüpfst. Da G im Allgemeinen nicht abelsch ist, gilt nicht ax=xa. Dennoch ist deine Idee ganz gut. Ich schreib sie nochmal richtig auf

| Multiplikation von links mit



Werde dir bewusst in welchen Mengen liegen, damit du sagen kannst, in welcher Nebenklassen folglich liegt.
 
 
acsyc Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
danke erstmal für den Hinweis mit der Reihenfolge, hatte ich in der Eile übersehen.
Also x^-1*a=b
x^-1 ist Element von H, da x Element von H ist
a ist Element von G und ich dachte a ist auch Element von H*a,
deshalb wäre dann auch b in dieser Nebenklasse.
Wo ist jetzt mein Fehler?
Automizer Auf diesen Beitrag antworten »

Dass , folgt daraus, dass . Du bist doch jetzt schon am Ziel. Die letzte Hürde ist nur noch zu verstehen, warum aus der Gleichung folgt, dass . Du hast richtig erkannt, dass . Was ist denn per Definition ?
Für den letzten Punkt der Aufgabe musst du nur verstehen, dass Nebenklassen nichts anderes als Äquivalenzklassen sind.
acsyc Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, danke das macht mir echt Mut,

also H*a = ( x*a l x ist element von H)
Dann ist b=x^-1*a Element von H*a weil a ja sowieso in H*a liegt und das x^-1
aus H ist und "dem x aus der Definition von H*a entspricht"
Ok, das letzte ist mathematisch nicht gut ausgedrückt,
aber ist das zu verstehen und richtig?

Gut, kann ich dann einfach folgern,
wenn a Element von H*b und b Element von H*a ist,
dass dann H*a = H*b sein muss?
Oder muss ich da noch mehr begründen?
Automizer Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, nicht direkt aus dem Grund, dass und . Die Menge ist fast immer keine Gruppe, also auch nicht zwangsläufig abgeschlossen unter der Verknüpfung. Die Behauptung ist wahr, weil einem Gruppenelement gleicht, dessen Form ist: linke Seite des Produktes ist ein Element aus und rechte Seite des Produktes ist . Die Elemente in sehen ja gerade so aus.

Für die andere Sache müsstest du, sofern das eure Aufgabe ist, schon noch was machen. Das heißt, zeige entweder direkt die Mengeninklusionen oder beispielsweise zeigst du, dass definiert durch eine Äquivalenzrelation auf definiert. Dann würde nämlich folgen, dass die Äquivalenzklassse von ist und du kennst ja sicher den Hauptsatz über Äquivalenzrelationen. Das ist auch die Idee dahinter. Wir definieren uns neue Objekte und wollen wissen, welche man als gleich ansehen kann.
acsyc Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo
Ich hab mich gestern Abend noch mal an die Aufgaben gesetzt und ich glaub, ich hab das jetzt soweit verstanden. Ich danke noch mal für die Hilfe.
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