Stammfunktion, Vermutung ln(x)

20.10.2015, 14:52

123Felix123

Stammfunktion, Vermutung ln(x)

Hallo zusammen,

inzwischen bin ich bei Integralen angekommen und in diesem Zuge ist leider eine wahrscheinlich sehr simple "Standardfrage" aufgekommen, die ich trotzdem leider nicht gelöst bekomme.

Folgene Stammfunktion soll gesucht werden:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx = \int_{a}^{b} \! \frac{1-2x^2-4x^3}{2x}+3 \, dx \end{eqnarray*}$

Überlegung an dieser Stelle ist definitiv der Logarithmus.

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx = \int_{a}^{b} \! \frac{1}{x} \, dx = ln(x)+C \end{eqnarray*}$

Nur, irgendwie kriege ich es nicht gebacken. Ich habe mir einen Online-Rechner diesbezüglich angesehen.
Als Lösung in unserer Aufgabensammlung ist

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx = \int_{a}^{b} \! \frac{1-2x^2-4x^3}{2x}+3 \, dx = \frac{1}{2}ln|x|-\frac{1}{2}x^2-\frac{2}{3}x^3+3x+C , C \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

angegeben.

Wenn mir jemand ggf. Schriff für Schritt erklären könnte wie das funktioniert - das wäre der Hammer...
Besten Dank!!! (Ich hoffe man kann die Formeln lesen.)

Viele Grüße

20.10.2015, 14:54

Mi_cha

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du musst lediglich den Bruch in 3 Brüche aufteilen, so dass der Integrand aus vier (die 3 mitgezählt) Summanden besteht. Diese kannst du dann separat integrieren.

20.10.2015, 14:55

10001000Nick1

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RE: Stammfunktion, Vermutung ln(x) - Bitte um Erklärung

Zitat:

Original von 123Felix123
(Ich hoffe man kann die Formeln lesen.)

Sieht doch wunderbar aus. smile

$\begin{eqnarray*} \frac{1-2x^2-4x^3}{2x}+3=\frac{1}{2x}-\frac{2x^2}{2x}-\frac{4x^3}{2x}+3 \end{eqnarray*}$

Das kannst du nach ein bisschen Kürzen ganz bequem integrieren.

20.10.2015, 15:09

123Felix123

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Sensationell, vielen Dank für die schnelle Antwort.

Das habe ich mir auch schon überlegt. Allerdings hapert es da bei mir an der Grundkentniss.

Ich schreibe mal meine Variante, die offenkundig falsch zu sein scheint, und dann Deine Variante, die ich an der markierten Stelle nicht verstehe:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx = \int_{a}^{b} \! \frac{1-2x^2-4x^3}{2x}+3 \, dx = \frac{1}{2}*x*ln|x|-\frac{1}{2}x^2-\frac{2}{3}x^3+3x+C , C \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Ich habe

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2x} \end{eqnarray*}$ geschrieben als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2x}=\frac{1}{2}*\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Und dann scheine ich einen Fehler mangels Wissen zu machen, dass

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx = \int_{a}^{b} \! \frac{1}{2x} \, dx = \frac{1}{2}*x*ln|x|+C , C \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

wird.

20.10.2015, 15:13

klarsoweit

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Zitat:

Original von 123Felix123
Und dann scheine ich einen Fehler mangels Wissen zu machen, dass

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! f(x) \, dx = \int_{a}^{b} \! \frac{1}{2x} \, dx = \frac{1}{2}*x*ln|x|+C , C \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

wird.

In der Tat. Wieso schiebst du bei der Stammfunktion noch einen Faktor x rein? verwirrt

20.10.2015, 15:22

123Felix123

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Irgendwie fühlt es sich für mich so an als müsste ich jeden Faktor des Produktes selbst integrieren.

Also $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}(\frac{1}{2}*\frac{1}{x}) \! \, dx = \int_{a}^{b}\frac{1}{2}dx * \int_{a}^{b}\frac{1}{x}dx \end{eqnarray*}$

Zugegeben fühlt sieht das aber auch beim "schreiben" schon komisch aus.... Gibt es eine Rechenregel die das verbietet?

20.10.2015, 15:40

10001000Nick1

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Zitat:

Original von 123Felix123
Gibt es eine Rechenregel die das verbietet?

Du wirst nirgendwo explizit finden, dass man das so nicht machen darf. Man kann ja nicht alles verbieten, was man in der Mathematik nicht darf. Augenzwinkern

Was es gibt, sind gültige (Rechen-)Gesetze, an die man sich halten muss.

Eines davon ist, dass konstante Faktoren beim Integrieren einfach stehen bleiben, d.h. $\begin{eqnarray*} \int\! a\cdot f(x) \, dx =a\cdot \int \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Und wenn du ein Produkt integrieren willst, dann darfst du nicht einfach jeden Faktor einzeln integrieren (Stichwort: Partielle Integration; aber hier brauchst du das nicht).

20.10.2015, 15:42

123Felix123

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So aber jetzt!!!

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}(\frac{1}{2}*\frac{1}{x}) \! \, dx \neq \int_{a}^{b}\frac{1}{2}dx * \int_{a}^{b}\frac{1}{x}dx \end{eqnarray*}$

denn

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} (\frac{1}{2}*ln(x))=\frac{1}{2}*\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Alter Schwede.... Mit Übung wird das hoffentlich klarer. Danke!!!

20.10.2015, 15:57

123Felix123

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Wird auch (und das ist hoffentlich mein letzter Post zu dieser Aufgabe) recht schön am darauffolgendem Beispiel klar:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! f(t) \, dt = \int_{a}^{b} \! 3sin(t)-4cos(t) \, dt = -3cos(t)-4sin(t)+C \end{eqnarray*}$

tolles Forum hier. Danke!

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