es existiert eine punktetrennende Algebra=>der kompakte Raum ist hausdorffsch

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OhNo234 Auf diesen Beitrag antworten »
es existiert eine punktetrennende Algebra=>der kompakte Raum ist hausdorffsch
Die Aufgabe: "Zeigen Sie, dass fur einen kompakten topologischen Raum K aus der Existenz einer punktetrennenden Algebra schon folgt, dass K Hausdorffsch ist."

Ich weiß nicht so ganz, wie ich da vorgehen kann....
OhNo234 Auf diesen Beitrag antworten »

Hat jemand vielleicht eine Idee?
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Idee: Zu gibt es mit . Betrachte dann die Urbilder von geeigneten offenen Umgebungen von .
Allerdings sehe ich gerade nicht, warum K kompakt sein muss verwirrt
OhNo234 Auf diesen Beitrag antworten »

Das wurde heute in der Vorlesung geklärt, in der Angabe ist ein Fehler aufgetreten und K kann irgendein topologischer Raum sein. Hat mich auch verwirrt.


Da die Algebra punktetrennend ist, gibt es also eine Funktion f, für die gilt. Da f in x stetig ist existiert für jedes ein mit . Für y gilt dasselbe, also . Dass Urbilder offener Mengen wieder offen sind, würde aus der Stetigkeit folgen, zu zeigen wäre noch, dass und disjunkt sind, was ich nicht hinbekomme...vielleicht könnte man und so wählen, dass sie disjunkt sind.


(B(x): Umgebungsbasis von x)
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die kann man nicht nur vielleicht so wählen (warum?)
OhNo234 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist gerade mein Problem...B(f(x) ist die Basis des Umgebungsfilters von f(x), es enthält also Mengen B, sodass es für jede Umgebung von x ein so gibt, dass . Für y gibt dasselbe. Warum und aber sicher disjunkt gewählt werden können, weiß ich nicht, wir wissen nämlich nur, dass . Und {f(x)} und {f(y)} selber müssen nicht offen sein, da wir nicht wissen, mit welcher Topologie der Raum versehen ist.
 
 
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Wie im anderen Thread würde ich die Standardtopologie auf annehmen.
Ich sehe gerade nicht, wie man das ohne eine Hausdorrfsche Topologie auf zeigt.
OhNo234 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ok...also die Angabe ist genau so, wie ichs im ersten Post geschriben habe (also es steht nicht dabei, was für eine Topologie gemeint ist)...vielleicht kann man das doch aus der Kompaktheit folgern oder so?
OhNo234 Auf diesen Beitrag antworten »

Weiß da irgendwer weiter?
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Ich glaube nicht, dass das so allgemein gilt. Betrachte als topologischen Raum das reelle Intervall [0,1] mit der indiskreten Topologie. Dann ist A={id} eine punktetrennende Algebra stetiger Funktionen, aber K ist nicht Hausdorffsch.
Edit: Nach dem Prinzip könnte man auch gleich zeigen, dass jeder topologische Raum Hausdorffsch ist.
OhNo234 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ja, stimmt, du hast Recht. Ich weiß nicht so wirklich, was ich jetzt machen soll...ist nämlich ein Übungsbeispiel und unser Professor glaubt anscheinend, dass man es lösen kann....oder es gibt noch weitere Fehler in der Angabe, die noch keiner bemerkt hat....
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Da kann ich dir nicht weiter helfen.
Ohne Hausdorfftopologie auf den reellen Zahlen geht es nicht, das zeigt mein Beispiel.
OhNo234 Auf diesen Beitrag antworten »

Egal, auf den Fall vielen Dank, dass du es versucht hast smile
dr.morrison Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, zuerst einmal zu

Zitat:
Ich glaube nicht, dass das so allgemein gilt. Betrachte als topologischen Raum das reelle Intervall [0,1] mit der indiskreten Topologie. Dann ist A={id} eine punktetrennende Algebra stetiger Funktionen, aber K ist nicht Hausdorffsch.


Beachte, dass in dieser Aufgabe, wie auch im Satz von Stone-Weierstrass nicht mit irgendeiner Topologie versehen ist, sondern mit der euklidischen. Damit funktioniert dieses scheinbare Gegenbeispiel nicht, da dann die Identitaet nicht stetig ist, und insbesondere nicht eine punktetrennende Subalgebra stetiger Funktionen bildet. So wie ich das sehe, betrachte z.B. das Intervall , was natuerlich in bez. der euklidischen Topologie offen, ist. Aber , und das bezueglich der euklidischen Topologie offene Intervall ist nicht offen bez. der indiskreten Topologie, deren einzige Elemente hier das Intervall und die leere Menge sind. Also ist die Identitaet in diesem Fall nicht stetig, und das Gegenbeispiel funktioniert nicht.

Ich denke, dass diese Aussage in der Tat gilt, und hier ist eine Hilfestellung: Sei . Dann weisst Du wegen der Existenz einer punktetrennenden Subalgebra der stetigen Funktionen, dass du diese Punkte mittels einer Funktion in dieser Subalgebra trennen kannst. Die Funktionswerte sind allerdings reelle Zahlen, und lassen sich topologisch unterscheiden. Nun fehlen noch ein paar Schritte, aber dies sollte erstmal genug sein Augenzwinkern
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Zitat:
Beachte, dass in dieser Aufgabe, wie auch im Satz von Stone-Weierstrass nicht mit irgendeiner Topologie versehen ist, sondern mit der euklidischen.

Sagt wer? smile Um dieses Problem kreisen wir schon seit gestern.
Und mit einer Hausdorffschen Topologie auf den reellen Zahlen ist die Behauptung auch schon gezeigt
dr.morrison Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, dass man das ohne weiteres annehmen kann, zumindest hinsichtlich der Aufgabe, die scheint, im Kontext von Stone-Weierstrass formuliert zu sein. Normalerweise ist es ja so, dass die reellen Zahlen, sofern nichts anderes gesagt, mit der euklidischen Topologie versehen sind.
OhNo234 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, dr.morrison. Ja, ich habe nachgefragt und man darf annehmen, dass es sich um die euklidische Topologie handelt. Somit ist das Beispiel dann einfach smile
dr.morrison Auf diesen Beitrag antworten »

Ja smile So wie ich das sehe, ist die Aussage auch falsch, wenn R keine Hausdorfftopologie trägt, wie bereits weiter oben gesagt wurde, allerdings muss das entsprechende Beispiel leicht modifiziert werden. Alles Liebe!
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Edit: Kein Kommentar
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