Banachscher Fixpunktsatz

20.10.2015, 18:03	Ronan	Auf diesen Beitrag antworten »
Banachscher Fixpunktsatz Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} cos \circ cos( \mathbb{R} ) \subseteq [ \frac{1}{2}, 1 ] \end{eqnarray}$ , dass $\begin{eqnarray} cos\|_{[\frac{1}{2}, 1]} \end{eqnarray}$ das Intervall $\begin{eqnarray} [ \frac{1}{2}, 1] \end{eqnarray}$ in sich hinein abbildet und eine strikte Kontraktion ist. Schließlich zeige man, dass $\begin{eqnarray} cos \circ \dots \circ cos( \alpha ) \end{eqnarray}$ (n mal) für jedes $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ gegen den selben Grenzwert strebt! Beim ersten Punkt habe ich Schhwierigkeiten, obwohl es wahrscheinlich ziemlich einfach ist, die nächten zwei Punkte habe ich hinbekommen und gezeigt, dass $\begin{eqnarray} \|cos(x)-cos(y)\| \leq \frac{1}{2} \sqrt{3} * \|x-y\| \end{eqnarray}$ . Warum folgt dann aber aus dem Banachschen Fixpunktsatz, dass $\begin{eqnarray} cos \circ \dots \circ cos( \alpha ) \end{eqnarray}$ (n mal) für jedes $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray*}$ gegen den selben Grenzwert strebt?
20.10.2015, 18:46	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Beim ersten Mal gilt: $\begin{align} \cos(\mathbb{R}) = [-1,1] \end{align}$ . Und für die nächste Anwendung des Cosinus beachte 1. die Geradheit der Cosinusfunktion, weswegen es genügt, $\begin{align} [0 \, , 1] \end{align}$ zu betrachten, 2. die strenge Monotonie in $\begin{align} \left[ 0 \, , \frac{\pi}{2} \right] \end{align}$ 3. die Reihenfolge $\begin{align} 0 < 1 < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2} \end{align}$ 4. den Wert $\begin{align} \cos \frac{\pi}{3} \end{align}$
21.10.2015, 12:58	Ronan	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann ich beim ersten Punkt einfach sagen, dass $\begin{eqnarray} cos(cos(\mathbb{R})) = cos([-1,1]) \in [0,5403..., 1] \end{eqnarray}$ ?
21.10.2015, 13:52	Ronan	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben den Banachschen Fixpunktsatz so formuliert: Sei (M, d) ein vollständiger metrischer Raum. Weiters sei $\begin{eqnarray} T: M \to M \end{eqnarray}$ eine Abbildung, die $\begin{eqnarray} d(Tx, Ty) \leq q d(x,y) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x,y \in M \end{eqnarray}$ mit einem festen $\begin{eqnarray} 0 \leq q < 1 \end{eqnarray}$ erfüllt. Dann hat die Fixpunktgleichung x=Tx genau eine Lösung z in M. Ist $\begin{eqnarray} y_0 \in M \end{eqnarray}$ , und definiert man $\begin{eqnarray} y_n := T^n y_0 \end{eqnarray}$ , so konvergiert $\begin{eqnarray} y_n \end{eqnarray}$ gegen z mit $\begin{eqnarray} d( y_n , z) \leq \frac{q^n}{1-q} * d(y_1, y_0) \end{eqnarray}$ In diesem Fall würde die Tatsache, dass $\begin{eqnarray} cos \circ \dots \circ cos( \alpha ) \end{eqnarray}$ (n mal) für jedes $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ gegen den selben Grenzwert strebt schon aus dem letzten Teil des Satzes folgen. Zu zeigen wäre also nur noch, dass man $\begin{eqnarray} cos \circ \dots \circ cos( \alpha ) \end{eqnarray}$ (n mal) auf $\begin{eqnarray} [ \frac{1}{2}, 1] \end{eqnarray*}$ einschränken darf, das folgt aber schon aus dem ersten Punkt.
22.10.2015, 19:04	Ronan	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist es so ok. ?

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